Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Проверка корней квадратного уравнения
Я рассматриваю уравнение, корнями которого являются x = 2 и x = 3. Мне нужно проверить, удовлетворяют ли они уравнению, и они действительно ему удовлетворяют.
Далее, я думаю, что следует показать решение с использованием метода дискриминанта. Интересно, не упустил ли я какие-либо моменты, поэтому я буду соответствующим образом использовать x_1 и другие переменные. Важно обеспечить ясность ответа!
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Разложим левую часть на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Ответ верный.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появляется заново — это та же самая неизвестная из исходного уравнения. Мы просто раскладываем выражение на множители.
Нужно представить:
\[ x^2-5x+6 \]
в виде произведения двух скобок. Чтобы при умножении получить \(x^2\), в каждой скобке ставим \(x\):
\[ (x+\ldots)(x+\ldots). \]
Раскроем скобки в общем виде:
\[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab. \]
Теперь подбираем \(a\) и \(b\):
- их произведение должно быть \(6\);
- их сумма должна быть \(-5\).
Подходят числа \(-2\) и \(-3\):
\[ (-2)\cdot(-3)=6,\qquad -2+(-3)=-5. \]
Поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Можно проверить раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Тогда уравнение становится:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=2\text{ или }x=3}. \]
