2 вариант

Краткий ответ

1. а) \(a^{21}\); б) \(3^{16}\).

2. а) \(y^5\); б) \(x^9y^4\).

3. а) \(64\); б) \(-81\); в) \(1\).

Решение

Используем правила:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}. \]

1. Запись произведения в виде степени

а)

\[ a\cdot a^5\cdot a^{15} =a^1\cdot a^5\cdot a^{15} =a^{1+5+15} =\boxed{a^{21}}. \]

б) Представим \(9\) как степень числа \(3\):

\[ 9\cdot3^3\cdot3^{11} =3^2\cdot3^3\cdot3^{11} =3^{2+3+11} =\boxed{3^{16}}. \]

2. Выполнение действий

а)

\[ (y^7)^3:(y^4)^4 =y^{7\cdot3}:y^{4\cdot4} =y^{21}:y^{16} =y^{21-16} =\boxed{y^5}. \]

б)

\[ \left(\frac{x^3}{y}\right)^5: \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^3 = \frac{x^{15}}{y^5}:\frac{x^6}{y^9}. \]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{x^{15}}{y^5}\cdot\frac{y^9}{x^6} =x^{15-6}y^{9-5} =\boxed{x^9y^4}. \]

3. Вычисления

а)

\[ \frac{4^{16}\cdot4^{26}}{(4^3)^{13}} = \frac{4^{16+26}}{4^{3\cdot13}} = \frac{4^{42}}{4^{39}} =4^3 =\boxed{64}. \]

б)

\[ \frac{(-3)^9\cdot(-3)^{16}}{3^{21}} = \frac{(-3)^{25}}{3^{21}} = -\frac{3^{25}}{3^{21}} =-3^4 =\boxed{-81}. \]

Знак отрицательный, потому что показатель \(25\) нечётный.

в) Вынесем \(3^8\) за скобки:

\[ \frac{3^{10}+2\cdot3^9+3^8} {3^{11}-11\cdot3^8} = \frac{3^8(3^2+2\cdot3+1)} {3^8(3^3-11)}. \]

\[ = \frac{3^8(9+6+1)} {3^8(27-11)} = \frac{16\cdot3^8}{16\cdot3^8} =\boxed{1}. \]

Проверка: числитель и знаменатель после вынесения \(3^8\) одинаковы.