1 вариант

Краткий ответ

1. а) \(x^{13}\); б) \(2^{13}\).
2. а) \(a^4\); б) \(\dfrac{a^8}{b^8}=\left(\dfrac ab\right)^8\).
3. а) \(64\); б) \(-625\); в) \(\dfrac73\).

Решение

Используем свойства степеней:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

1. Запишем произведение в виде степени

а)

\[ x^{10}\cdot x^2\cdot x=x^{10+2+1}=x^{13}. \]

б) Представим \(4\) как \(2^2\):

\[ 2^3\cdot4\cdot2^8=2^3\cdot2^2\cdot2^8 =2^{3+2+8}=2^{13}. \]

2. Выполним действия

а)

\[ (a^5)^2:(a^3)^2=a^{5\cdot2}:a^{3\cdot2} =a^{10}:a^6=a^{10-6}=a^4. \]

б)

\[ \left(\frac{a^3}{b^4}\right)^4: \left(\frac a{b^2}\right)^4 = \frac{a^{12}}{b^{16}}:\frac{a^4}{b^8}. \]

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{a^{12}}{b^{16}}\cdot\frac{b^8}{a^4} =\frac{a^{12-4}}{b^{16-8}} =\frac{a^8}{b^8} =\left(\frac ab\right)^8. \]

3. Вычислим

а)

\[ \frac{8^{16}\cdot8^{10}}{8^{24}} =8^{16+10-24}=8^2=64. \]

б)

\[ \frac{(-5)^3\cdot(-5)^{10}}{(5^3)^3} = \frac{(-5)^{13}}{5^9} =-5^{13-9}=-5^4=-625. \]

Знак отрицательный, потому что степень \(13\) нечётная.

в) Вынесем \(2^8\) за скобки:

\[ \frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+(4^2)^2} = \frac{2^8(2^2+2+1)}{2^9+2^8}. \]

Так как \(4=2^2\), то

\[ (4^2)^2=(2^4)^2=2^8. \]

Следовательно,

\[ \frac{2^8(4+2+1)}{2^8(2+1)} =\frac{7}{3}. \]