Реши задание на изображении
Разложение многочленов
Я вижу, что исходные слагаемые оба делятся на 25. Значит, похоже, разложение может иметь вид \(25(2x - 5y^4)(2x + 5y^4)\). Я думаю, ожидают ли от меня использования разности квадратов, но, возможно, лучше придерживаться предположения о целых коэффициентах. Кроме того, выражение \(100x² - 625y⁸\) подтверждает мою мысль относительно показателя степени \(y\), так что всё верно. В целом я доволен этим разложением!
Упрощение выражений
Я рассматриваю, как упростить или разложить данные выражения. Для первого выражение \(2 = 9 - 30x\) или \(-3(10x - 3)\) может потребовать корректировок при умножении. Если требуется разложение, я думаю применить формулу \((a-b)^2 - a^2\) ко второму выражению.
Для третьего выражения \(100x^2 - 625y^8\) очевидно упрощается до \(25(2x - 5y^4)(2x + 5y^4)\) после раскрытия скобок. Кажется, с этой частью я справился правильно!
Завершение математических заданий
Мне нужно завершить ответы на задания один и два. Я хочу убедиться, что использую фразу «Сначала краткий ответ» в точности так, как указано.
Для задания один упрощённое выражение имеет вид \(-28x^4-6x^2y+4y^2\).
Для задания два после раскрытия скобок получается \(9-30x\).
Мне следует ещё раз проверить раскрытие скобок, чтобы убедиться, что всё правильно.
Проверка корней многочлена
Я решаю уравнение \(9x^4-x^2\) и разложил его на множители, чтобы найти корни: \(x \in \{-1/3, 0, 1/3\}\). Я проверю эти решения, подставив их обратно. При \(x = 0\) получается 0. Для обоих значений \(±1/3\) значение \(x^2\) равно \(1/9\), а \(x^4\) равно \(1/81\), что также подтверждает, что уравнение равно нулю. Думаю, достаточно упомянуть, что исходное разложение кажется правильным, и не усложнять ответ.
Краткий ответ
\[ (4x^2+2y)(2y-7x^2)=-28x^4-6x^2y+4y^2 \]
\[ (5x-3)^2-25x^2=9-30x \]
Разложение на множители:
а) \[ 100x^2-625y^8=25(2x-5y^4)(2x+5y^4) \]
б) \[ 4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2 \]
- \[ 9x^4-x^2=0 \] \[ x=-\frac13,\quad x=0,\quad x=\frac13 \]
Решение
1. Раскрываем скобки:
\[ \begin{aligned} (4x^2+2y)(2y-7x^2) &=4x^2\cdot2y+4x^2\cdot(-7x^2)\\ &\quad+2y\cdot2y+2y\cdot(-7x^2)\\ &=8x^2y-28x^4+4y^2-14x^2y\\ &=-28x^4-6x^2y+4y^2. \end{aligned} \]
Слагаемые \(8x^2y\) и \(-14x^2y\) — подобные, поэтому их можно объединить.
2. Используем разность квадратов:
\[ 25x^2=(5x)^2. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} (5x-3)^2-25x^2 &=(5x-3)^2-(5x)^2\\ &=((5x-3)-5x)((5x-3)+5x)\\ &=(-3)(10x-3)\\ &=9-30x. \end{aligned} \]
Формула:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
3а.
Сначала выносим общий множитель \(25\):
\[ 100x^2-625y^8=25(4x^2-25y^8). \]
В скобках разность квадратов:
\[ 4x^2-25y^8=(2x)^2-(5y^4)^2. \]
Поэтому
\[ 100x^2-625y^8 =25(2x-5y^4)(2x+5y^4). \]
3б.
Это квадрат разности:
\[ (2x-y)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot y+y^2 =4x^2-4xy+y^2. \]
Значит,
\[ 4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2. \]
4. Решаем уравнение:
\[ 9x^4-x^2=0. \]
Выносим \(x^2\) за скобки:
\[ x^2(9x^2-1)=0. \]
Разлагаем вторую скобку:
\[ x^2(3x-1)(3x+1)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0, \]
\[ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13, \]
\[ 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13. \]
Проверка: при \(x=0\) и \(x=\pm\frac13\) выражение \(9x^4-x^2\) действительно равно нулю.
