11 номер
Разбор математических выражений
Я внимательно анализирую несколько пунктов.
Для первого многочлена \(x^2 - 8x + 9\) допустимы все \(x \in R\).
Далее, для \(1/(6x - 3)\) необходимо \(x ≠ 1/2\), чтобы избежать деления на ноль.
Выражение \((3x-6)/7\) допустимо для всех действительных чисел, поскольку знаменатель всегда равен 7.
Для \((x^2 - 8)/(4x(x+1))\) ограничения таковы: \(x ≠ 0\) и \(x ≠ -1\).
Дробь \((x-5)/(x^2 + 25) - 3x\) определена для всех действительных чисел, поскольку знаменатель всегда положителен.
В выражении \(x/(x+8) + (x-8)/x\) получаем \(x ≠ -8\) и \(x ≠ 0\), поэтому оно определено на \(R \ {-8, 0}\).
Возможно, стоит уточнить, что «допустимые значения переменной» означают значения, при которых выражение определено. Я проверю результаты и рассмотрю возможность составить таблицу, но мне не нужно будет просить уточнения, поскольку изображение кажется читаемым. Я включу «NEXT», если это будет уместно, а сейчас просто убеждаюсь, что всё рассмотрено тщательно!
Краткий ответ:
а) \(x\in\mathbb R\);
б) \(x\ne \dfrac12\);
в) \(x\in\mathbb R\);
г) \(x\ne0,\; x\ne-1\);
д) \(x\in\mathbb R\);
е) \(x\ne-8,\; x\ne0\).
Как находить допустимые значения: нельзя допускать, чтобы знаменатель дроби был равен нулю.
а) \(x^2-8x+9\) — многочлен, ограничений нет:
\[ x\in\mathbb R. \]б)
\[ 6x-3\ne0 \quad\Rightarrow\quad 6x\ne3 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac12. \]в) Знаменатель равен \(7\), он никогда не обращается в ноль:
\[ x\in\mathbb R. \]г)
\[ 4x(x+1)\ne0. \] Поэтому \[ x\ne0,\qquad x+1\ne0\Rightarrow x\ne-1. \]д)
\[ x^2+25>0 \] при любом действительном \(x\), поэтому ограничений нет:
\[ x\in\mathbb R. \]е) В выражении два знаменателя: \[ x+8\ne0,\qquad x\ne0. \] Значит, \[ x\ne-8,\qquad x\ne0. \]
Проверка: все исключённые значения делают хотя бы один знаменатель равным нулю.
