904
Тщательный анализ производных
Возможно, стоит упомянуть понятие нулевой производной. Важно дать чёткое объяснение, возможно, используя таблицу. Однако следует быть осторожным с текстом на изображении, например: «904 1) y=e^{x^2+3x}; 2) y=3^{x^2-x}.» Думаю, эффективно будет начать с краткого ответа, а затем привести основные шаги. Использование знака производной поможет прояснить процесс. Результаты можно проверить по монотонности показателя, учитывая, что показательная функция с основанием больше единицы является возрастающей.
Уточнение промежутков монотонности
Можно сказать, что при x=-2 производная отрицательна, а при x=0 положительна, и этого может быть достаточно для объяснения. Возможная проблема заключается в том, что в школе промежутки возрастания и убывания могут записываться иначе, например \(x\in(-\infty; -3/2]\). Определения могут различаться: обычно стандартные «промежутки возрастания» записывают как открытые множества, например \((-\infty;-3/2)\). Также нужно упомянуть, что критическая точка, в которой производная равна нулю, указывает на минимум, и эта точка не входит в промежутки строгой монотонности. Я отвечу на русском языке.
Краткий ответ
\(y=e^{x^2+3x}\):
- убывает на \(\left(-\infty;-\frac32\right)\);
- возрастает на \(\left(-\frac32;+\infty\right)\).
\(y=3^{x^2-x}\):
- убывает на \(\left(-\infty;\frac12\right)\);
- возрастает на \(\left(\frac12;+\infty\right)\).
Решение
Для показательной функции \(a^u\), где \(a>1\), характер изменения определяется показателем \(u\): если \(u\) возрастает, то и \(a^u\) возрастает.
1) \(y=e^{x^2+3x}\)
Рассмотрим показатель:
\[ u=x^2+3x. \]
Его производная:
\[ u'=2x+3. \]
Находим критическую точку:
\[ 2x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac32. \]
Знак \(u'\):
- при \(x<-\frac32\): \(u'<0\), функция убывает;
- при \(x>-\frac32\): \(u'>0\), функция возрастает.
Так как \(e^u>0\), знак производной \(y'=e^{x^2+3x}(2x+3)\) совпадает со знаком \(2x+3\).
2) \(y=3^{x^2-x}\)
Показатель:
\[ u=x^2-x. \]
Его производная:
\[ u'=2x-1. \]
Критическая точка:
\[ 2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12. \]
Знак \(u'\):
- при \(x<\frac12\): \(u'<0\), функция убывает;
- при \(x>\frac12\): \(u'>0\), функция возрастает.
Проверка: поскольку \(3^{x^2-x}>0\) и \(\ln 3>0\),
\[ y'=3^{x^2-x}\ln 3\,(2x-1), \]
поэтому знак производной определяется только выражением \(2x-1\). В обеих функциях найденные точки являются точками минимума.
Обсуждение
2 сообщенияОбьясни второе подробнее
Рассмотрим функцию
\[ y=3^{x^2-x}. \]
Нужно определить, где она убывает и возрастает.
1. Находим производную
Используем правило:
\[ \left(a^{u(x)}\right)'=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x). \]
Здесь
\[ a=3,\qquad u(x)=x^2-x. \]
Тогда
\[ u'(x)=2x-1, \]
и
\[ y'=3^{x^2-x}\ln 3\,(2x-1). \]
2. Определяем знак производной
Множители
\[ 3^{x^2-x}>0,\qquad \ln 3>0 \]
при любых \(x\). Поэтому знак производной зависит только от \(2x-1\).
Найдём, где этот множитель равен нулю:
\[ 2x-1=0, \]
\[ x=\frac12. \]
Разбиваем числовую прямую на интервалы:
| Интервал | Знак \(2x-1\) | Поведение \(y\) |
|---|---|---|
| \(\left(-\infty;\frac12\right)\) | \(-\) | убывает |
| \(\left(\frac12;+\infty\right)\) | \(+\) | возрастает |
Следовательно,
\[ \boxed{\text{функция убывает на }\left(-\infty;\frac12\right)} \]
и
\[ \boxed{\text{функция возрастает на }\left(\frac12;+\infty\right)}. \]
В точке \(x=\frac12\) функция достигает минимума:
\[ y_{\min}=3^{\left(\frac12\right)^2-\frac12} =3^{\frac14-\frac12} =3^{-\frac14} =\frac1{\sqrt[4]{3}}. \]
То есть график сначала спускается, достигает наименьшего значения при \(x=\frac12\), а затем поднимается.
