51 решение уравнений

Краткий ответ:

\[ \boxed{\text{а) }x=5;\quad \text{б) }x=-1;\quad \text{в) }x=6;\quad \text{г) }x=1.} \]

Принцип решения

Если

\[ \frac{A}{B}-\frac{C}{D}=0, \]

то сначала записываем ограничения \(B\ne0,\ D\ne0\), а затем перемножаем «крест-накрест»:

\[ AD-BC=0. \]

---

а)

\[ \frac{9x+5}{3x+10}-\frac{3x+7}{x+6}=0 \]

ОДЗ:

\[ x\ne-\frac{10}{3},\qquad x\ne-6. \]

Перемножаем крест-накрест:

\[ (9x+5)(x+6)-(3x+7)(3x+10)=0. \]

Раскрываем скобки:

\[ 9x^2+59x+30-9x^2-51x-70=0, \]

\[ 8x-40=0,\qquad x=5. \]

Проверка:

\[ \frac{9\cdot5+5}{3\cdot5+10} -\frac{3\cdot5+7}{5+6} =\frac{50}{25}-\frac{22}{11}=2-2=0. \]

---

б)

\[ \frac{3x+8}{7x-3}-\frac{6x-9}{14x+44}=0 \]

ОДЗ:

\[ x\ne\frac37,\qquad x\ne-\frac{22}{7}. \]

\[ (3x+8)(14x+44)-(6x-9)(7x-3)=0. \]

\[ 42x^2+244x+352-42x^2+81x-27=0, \]

\[ 325x+325=0, \]

\[ x=-1. \]

Проверка:

\[ \frac{3(-1)+8}{7(-1)-3} -\frac{6(-1)-9}{14(-1)+44} =\frac5{-10}-\frac{-15}{30} =-\frac12+\frac12=0. \]

---

в)

\[ \frac{9x-4}{3x+7}-\frac{3x+4}{x+5}=0 \]

ОДЗ:

\[ x\ne-\frac73,\qquad x\ne-5. \]

\[ (9x-4)(x+5)-(3x+4)(3x+7)=0. \]

\[ 9x^2+41x-20-9x^2-33x-28=0, \]

\[ 8x-48=0, \]

\[ x=6. \]

Проверка:

\[ \frac{9\cdot6-4}{3\cdot6+7} -\frac{3\cdot6+4}{6+5} =\frac{50}{25}-\frac{22}{11}=0. \]

---

г)

\[ \frac{3x+2}{7x-17}-\frac{6x-21}{14x+16}=0 \]

ОДЗ:

\[ x\ne\frac{17}{7},\qquad x\ne-\frac87. \]

\[ (3x+2)(14x+16)-(6x-21)(7x-17)=0. \]

\[ 42x^2+76x+32-42x^2+249x-357=0, \]

\[ 325x-325=0, \]

\[ x=1. \]

Проверка:

\[ \frac{3\cdot1+2}{7\cdot1-17} -\frac{6\cdot1-21}{14\cdot1+16} =\frac5{-10}-\frac{-15}{30}=0. \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{а) }5;\quad \text{б) }-1;\quad \text{в) }6;\quad \text{г) }1.} \]