Номер 4

Краткий ответ

Во всех парах второй график получается из первого сдвигом:

• а) вниз на \(3\);
• б) вверх на \(1\);
• в) влево на \(1\) и вниз на \(1\);
• г) вправо на \(1\) и вверх на \(1\);
• д) влево на \(2\);
• е) вправо на \(3\).

а) \(y=-2x\) и \(y=-2x-3\)

Это две параллельные прямые с угловым коэффициентом \(-2\).

Точки:

\[ \begin{array}{c|ccc} x&-1&0&1\\ \hline y=-2x&2&0&-2\\ y=-2x-3&-1&-3&-5 \end{array} \]

Постройте точки и проведите через них прямые.

---

б) \(y=\frac12x\) и \(y=\frac12x+1\)

Это также параллельные прямые. Вторая прямая поднята на \(1\).

\[ \begin{array}{c|ccc} x&-2&0&2\\ \hline y=\frac12x&-1&0&1\\ y=\frac12x+1&0&1&2 \end{array} \]

---

в) \(y=x^2\) и \(y=x^2+2x\)

Преобразуем вторую функцию:

\[ y=x^2+2x=(x+1)^2-1. \]

Значит, график \(y=x^2\) сдвинули влево на \(1\) и вниз на \(1\).

• \(y=x^2\): вершина \((0;0)\);
• \(y=(x+1)^2-1\): вершина \((-1;-1)\).

Точки второго графика:

\[ (-2;0),\quad(-1;-1),\quad(0;0). \]

Обе параболы пересекаются в точке \((0;0)\).

---

г) \(y=-x^2\) и \(y=-x^2+2x\)

Преобразуем:

\[ y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1. \]

Значит, второй график получен сдвигом вправо на \(1\) и вверх на \(1\).

• \(y=-x^2\): вершина \((0;0)\);
• \(y=-(x-1)^2+1\): вершина \((1;1)\).

Точки второй параболы:

\[ (0;0),\quad(1;1),\quad(2;0). \]

Точка пересечения графиков:

\[ (0;0). \]

---

д) \(y=\sqrt{x}\) и \(y=\sqrt{x+2}\)

Во второй функции \(x\) заменили на \(x+2\), поэтому график сдвигается влево на \(2\).

\[ \begin{array}{c|cccc} x&0&1&4&9\\ \hline y=\sqrt{x}&0&1&2&3 \end{array} \]

Для \(y=\sqrt{x+2}\) удобны точки:

\[ (-2;0),\quad(-1;1),\quad(2;2),\quad(7;3). \]

Области определения:

\[ y=\sqrt{x}: x\ge 0,\qquad y=\sqrt{x+2}: x\ge -2. \]

---

е) \(y=|x|\) и \(y=|x-3|\)

График \(y=|x|\) имеет вершину \((0;0)\).

Во второй функции \(x\) заменили на \(x-3\), поэтому график сдвигается вправо на \(3\). Его вершина:

\[ (3;0). \]

Точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=|x|&2&1&0&1&2 \end{array} \]

Для \(y=|x-3|\):

\[ (1;2),\quad(2;1),\quad(3;0),\quad(4;1),\quad(5;2). \]

Графики пересекаются в точке:

\[ \left(\frac32;\frac32\right). \]

Главное правило

\[ y=f(x)+b \]

— сдвиг вверх на \(b\), а

\[ y=f(x-a) \]

— сдвиг вправо на \(a\). Поэтому \(f(x+2)\) сдвигает график влево на \(2\).