Объясни мне, как делить дроби с целыми. вычитать дроби с целыми. плюсовать дороги с телами. умножай дроби с телами.

Кратко

Под «дробями с целыми» понимаем смешанные числа, например \(2\frac13\).

Самое удобное правило: сначала превратить смешанные числа в неправильные дроби, выполнить действие, а затем при необходимости выделить целую часть.

\[ a\frac bc=\frac{a\cdot c+b}{c} \]

Например:

\[ 2\frac13=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac73 \]

Запись \(2\frac13\) означает \(2+\frac13\), а не умножение.

---

1. Сложение смешанных чисел

Шаги

1. Преврати смешанные числа в неправильные дроби.
2. Приведи дроби к общему знаменателю.
3. Сложи числители.
4. Сократи дробь и выдели целую часть.

Пример

\[ 2\frac13+1\frac34 \]

Переводим в неправильные дроби:

\[ 2\frac13=\frac73,\qquad 1\frac34=\frac74 \]

Приводим к знаменателю \(12\):

\[ \frac73+\frac74=\frac{28}{12}+\frac{21}{12} =\frac{49}{12} \]

Выделяем целую часть:

\[ \frac{49}{12}=4\frac1{12} \]

Ответ:

\[ \boxed{4\frac1{12}} \]

Проверка: \(2\frac13\approx2{,}33\), \(1\frac34=1{,}75\), сумма примерно \(4{,}08\), то есть \(4\frac1{12}\) подходит.

---

2. Вычитание смешанных чисел

Шаги

1. Переведи числа в неправильные дроби.
2. Приведи к общему знаменателю.
3. Вычти числители.
4. Сократи и выдели целую часть.

Пример

\[ 5\frac16-2\frac34 \]

\[ 5\frac16=\frac{31}{6},\qquad 2\frac34=\frac{11}{4} \]

Общий знаменатель — \(12\):

\[ \frac{31}{6}-\frac{11}{4} =\frac{62}{12}-\frac{33}{12} =\frac{29}{12} =2\frac5{12} \]

Ответ:

\[ \boxed{2\frac5{12}} \]

Проверка сложением:

\[ 2\frac5{12}+2\frac34 =2\frac5{12}+2\frac9{12} =5\frac16 \]

---

3. Умножение смешанных чисел

Шаги

1. Переведи смешанные числа в неправильные дроби.
2. Перемножь числители.
3. Перемножь знаменатели.
4. Сократи результат и выдели целую часть.

Пример

\[ 2\frac13\cdot1\frac12 \]

\[ 2\frac13=\frac73,\qquad 1\frac12=\frac32 \]

\[ \frac73\cdot\frac32 =\frac{7\cdot3}{3\cdot2} =\frac72 =3\frac12 \]

Ответ:

\[ \boxed{3\frac12} \]

Можно было сократить одинаковые множители \(3\) ещё до умножения.

---

4. Деление смешанных чисел

Главное правило

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевёрнутую дробь:

\[ \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc \]

Шаги

1. Переведи смешанные числа в неправильные дроби.
2. Вторую дробь переверни.
3. Замени деление умножением.
4. Перемножь, сократи и выдели целую часть.

Пример

\[ 2\frac14:1\frac12 \]

\[ 2\frac14=\frac94,\qquad 1\frac12=\frac32 \]

Переворачиваем вторую дробь:

\[ \frac94:\frac32 =\frac94\cdot\frac23 =\frac{18}{12} =\frac32 =1\frac12 \]

Ответ:

\[ \boxed{1\frac12} \]

Проверка обратным действием:

\[ 1\frac12\cdot1\frac12 =\frac32\cdot\frac32 =\frac94=2\frac14 \]

---

Памятка

\[ \boxed{ \begin{array}{l} \text{Смешанное число} \rightarrow \text{неправильная дробь}\\ \text{Сложение и вычитание} \rightarrow \text{общий знаменатель}\\ \text{Умножение} \rightarrow \text{числитель на числитель}\\ \text{Деление} \rightarrow \text{умножить на перевёрнутую дробь} \end{array} } \]