Реши задание на изображении

Краткий ответ (считаем переменные действительными):

• а) \(x\in\mathbb R\);
• б) \(x\in\mathbb R,\quad x\ne \pm\dfrac12\);
• в) \(x^2-y^2\ne0\), то есть \(x\ne y\) и \(x\ne -y\);
• г) \(x\ne0,\quad y\ne0\).

Объяснение

ОДЗ дробно-рационального выражения: знаменатель не должен быть равен нулю.

а)
\[ \frac{4x^2-1}{4} \] Знаменатель равен \(4\), он никогда не обращается в ноль. Поэтому ограничений нет: \[ x\in\mathbb R. \]

б)
\[ \frac{4}{4x^2-1} \] Требуем: \[ 4x^2-1\ne0, \] \[ 4x^2\ne1,\qquad x^2\ne\frac14, \] \[ x\ne\pm\frac12. \]

в)
\[ \frac{2xy}{x^2-y^2} \] Требуем: \[ x^2-y^2\ne0. \] Разложим разность квадратов: \[ (x-y)(x+y)\ne0. \] Значит, \[ x\ne y,\qquad x\ne-y. \]

г)
\[ \frac{x^2-y^2}{2xy} \] Требуем: \[ 2xy\ne0. \] Произведение равно нулю, если \(x=0\) или \(y=0\). Поэтому: \[ x\ne0,\qquad y\ne0. \]

Проверка: все исключённые значения делают знаменатель равным нулю, значит, подставлять их нельзя.