Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(S_{\text{осн}}=14\ \text{м}^2\), \(V=70\ \text{м}^3\).
2. \(S_{\text{осн}}=225\ \text{см}^2\), \(BD_1=15\sqrt3\ \text{см}\), \(V=3375\ \text{см}^3\).
3. \(h=\dfrac{\sqrt2}{2}\ \text{см}\).

Задание 1

Площадь основания — площадь параллелограмма:

\[ S_{\text{осн}}=ab\sin\alpha =7\cdot4\cdot\sin30^\circ =28\cdot\frac12=14\ \text{м}^2. \]

Так как параллелепипед прямой, его высота равна боковому ребру:

\[ h=5\ \text{м}. \]

Объём:

\[ V=S_{\text{осн}}\cdot h=14\cdot5=70\ \text{м}^3. \]

Задание 2

Сторона куба \(a=15\ \text{см}\).

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}}=a^2=15^2=225\ \text{см}^2. \]

Сначала найдём диагональ основания:

\[ BD=a\sqrt2=15\sqrt2. \]

В треугольнике \(BDD_1\):

\[ BD_1=\sqrt{BD^2+DD_1^2} =\sqrt{(15\sqrt2)^2+15^2} =\sqrt{450+225} =15\sqrt3\ \text{см}. \]

Объём куба:

\[ V=a^3=15^3=3375\ \text{см}^3. \]

Проверка: пространственная диагональ куба должна быть \(a\sqrt3\), поэтому \(BD_1=15\sqrt3\).

Задание 3

Пусть \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр квадратного основания, \(A\) — вершина основания.

Все рёбра равны \(1\) см, поэтому:

\[ SA=1,\qquad AB=1. \]

Диагональ квадрата:

\[ AC=1\cdot\sqrt2=\sqrt2, \]

а расстояние от центра до вершины:

\[ AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]

В прямоугольном треугольнике \(SAO\):

\[ SO^2=SA^2-AO^2 =1^2-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =1-\frac12=\frac12. \]

Следовательно,

\[ SO=h=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{см}. \]

Проверка: высота меньше бокового ребра \(1\) см, что соответствует геометрии задачи.