Середина боковой стороны трапеции равноудалена от двух противоположных от неё вершин. докажите что трапеция прямоугольная
Краткий ответ: трапеция является прямоугольной, потому что её боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Пусть \(ABCD\) — трапеция, \(AB\parallel CD\). Пусть \(M\) — середина боковой стороны \(AD\), причём
\[ MB=MC. \]
Через точку \(M\) проведём прямую \(MN\parallel AB\parallel CD\), где \(N\in BC\).
- Так как \(M\) — середина \(AD\), то по теореме о пропорциональных отрезках точка \(N\) — середина \(BC\):
\[ BN=NC. \]
В треугольнике \(MBC\) выполняется \(MB=MC\), значит, он равнобедренный.
Отрезок \(MN\) — медиана к основанию \(BC\), так как \(N\) — середина \(BC\). В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой:
\[ MN\perp BC. \]
- Но \(MN\parallel AB\), следовательно,
\[ AB\perp BC. \]
Так как \(AB\parallel CD\), то и \(CD\perp BC\). Значит, трапеция имеет прямой угол и является прямоугольной.
Если серединой является другая боковая сторона, доказательство проводится аналогично.
Обсуждение
2 сообщенияв выпуклом многоугольнике имеется 5 углов по 140° каждый, остальные углы острые. найдите число сторон этого многоугольника.
Ответ: \(\boxed{6}\) сторон.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\).
Угол \(140^\circ\) имеет внешний угол
\[ 180^\circ-140^\circ=40^\circ. \]
Пять таких углов дают:
\[ 5\cdot 40^\circ=200^\circ. \]
Остаётся:
\[ 360^\circ-200^\circ=160^\circ. \]
Если внутренний угол острый, то соответствующий внешний угол больше \(90^\circ\). Поэтому таких оставшихся углов может быть только один, так как два внешних угла были бы больше \(180^\circ\).
Значит, всего углов:
\[ 5+1=6. \]
Следовательно, многоугольник имеет \(\boxed{6}\) сторон.
(Его шестой угол равен \(20^\circ\).)
