Реши все

Что такое степень

В записи

\[ a^n \]

\(a\) — основание степени, \(n\) — показатель степени.

Например:

\[ 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81. \]

---

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении показатели складываются:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]

Примеры

\[ x^3\cdot x^5=x^{3+5}=x^8; \]

\[ b^7\cdot b^2=b^9. \]

Почему так:

\[ a^3\cdot a^2=(a\cdot a\cdot a)(a\cdot a)=a^5. \]

Важно: это правило работает только при одинаковых основаниях.

\[ x^2\cdot y^3 \]

нельзя объединить в одну степень, потому что основания разные.

---

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении показатели вычитаются:

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\ne0. \]

Примеры

\[ \frac{x^8}{x^3}=x^{8-3}=x^5; \]

\[ \frac{a^4}{a^7}=a^{4-7}=a^{-3}=\frac1{a^3}. \]

Например:

\[ \frac{b^6}{b^2} = \frac{b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b}{b\cdot b} =b^4. \]

---

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]

Примеры

\[ (x^3)^4=x^{3\cdot4}=x^{12}; \]

\[ (a^5)^2=a^{10}. \]

Нельзя складывать показатели:

\[ (x^3)^4\ne x^7. \]

Правильно:

\[ (x^3)^4=x^{12}. \]

---

4. Степень произведения

Показатель можно применить к каждому множителю:

\[ (ab)^n=a^n b^n. \]

Примеры

\[ (xy)^3=x^3y^3; \]

\[ (2a)^4=2^4a^4=16a^4. \]

Более сложный пример:

\[ (3x^2y)^2 =3^2(x^2)^2y^2 =9x^4y^2. \]

---

5. Степень дроби

Показатель применяется и к числителю, и к знаменателю:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\ne0. \]

Пример

\[ \left(\frac{2x}{3}\right)^2 =\frac{(2x)^2}{3^2} =\frac{4x^2}{9}. \]

---

6. Нулевая степень

Любое ненулевое число или выражение в нулевой степени равно единице:

\[ a^0=1, \qquad a\ne0. \]

Примеры

\[ 7^0=1; \]

\[ x^0=1; \]

\[ (3a)^0=1. \]

Выражение \(0^0\) в школьной математике обычно не рассматривают.

---

7. Отрицательная степень

Отрицательный показатель означает, что степень нужно записать в знаменателе:

\[ a^{-n}=\frac1{a^n}, \qquad a\ne0. \]

Примеры

\[ x^{-3}=\frac1{x^3}; \]

\[ \frac1{a^{-2}}=a^2; \]

\[ 5^{-2}=\frac1{5^2}=\frac1{25}. \]

---

8. Умножение одночленов

При умножении:

1. перемножают коэффициенты;
2. показатели одинаковых букв складывают.

Пример из предыдущего задания

\[ 6a^3b^3\cdot(-4a^5b). \]

Перемножаем коэффициенты:

\[ 6\cdot(-4)=-24. \]

Для \(a\):

\[ a^3\cdot a^5=a^{3+5}=a^8. \]

Для \(b\):

\[ b^3\cdot b=b^{3+1}=b^4. \]

Итог:

\[ \boxed{-24a^8b^4}. \]

Ещё пример:

\[ (-3x^2y^4)(5x^3y) =-15x^{2+3}y^{4+1} =-15x^5y^5. \]

---

9. Знаки при возведении в степень

Если отрицательное число заключено в скобки:

\[ (-a)^n=(-1)^n a^n. \]

При чётной степени результат положительный:

\[ (-3)^2=9; \]

\[ (-x)^4=x^4. \]

При нечётной степени результат отрицательный:

\[ (-3)^3=-27; \]

\[ (-x)^5=-x^5. \]

Обратите внимание:

\[ (-3)^2=9, \]

но

\[ -3^2=-9. \]

Сначала выполняется возведение в степень, затем ставится знак «минус».

---

10. Что делать нельзя

Нельзя складывать показатели при сложении

\[ a^3+a^5\ne a^8. \]

Такое выражение можно только вынести общий множитель:

\[ a^3+a^5=a^3(1+a^2). \]

Нельзя складывать степени при умножении разных оснований

\[ x^2\cdot y^3\ne (xy)^5. \]

Правильно оставить:

\[ x^2y^3. \]

Нельзя раскрывать степень суммы как сумму степеней

\[ (a+b)^2\ne a^2+b^2. \]

Правильная формула:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

Например:

\[ (x+3)^2=x^2+6x+9. \]

---

Главное правило для запоминания

\[ \boxed{a^m\cdot a^n=a^{m+n}} \]

\[ \boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}} \]

\[ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}} \]

\[ \boxed{(ab)^n=a^nb^n} \]

\[ \boxed{\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}} \]

При умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

Да, разберу именно ход решения каждого задания, а не только результаты.

1. Вычислить

а) \((-4)^2+(-3)^3\)

Сначала выполняем возведение в степень.

\[ (-4)^2=(-4)\cdot(-4)=16. \]

Степень чётная, поэтому результат положительный.

\[ (-3)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3). \]

Сначала:

\[ (-3)\cdot(-3)=9, \]

затем:

\[ 9\cdot(-3)=-27. \]

Теперь складываем:

\[ 16+(-27)=16-27=-11. \]

Ответ:

\[ \boxed{-11} \]

---

б) \(\left(\frac12\right)^3-\left(\frac23\right)^2\)

Возводим числитель и знаменатель дроби в степень:

\[ \left(\frac12\right)^3=\frac{1^3}{2^3}=\frac18, \]

\[ \left(\frac23\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac49. \]

Получается:

\[ \frac18-\frac49. \]

Чтобы вычесть дроби, нужен общий знаменатель. Для чисел \(8\) и \(9\) это \(72\).

Приводим дроби к знаменателю \(72\):

\[ \frac18=\frac{9}{72}, \qquad \frac49=\frac{32}{72}. \]

Теперь вычитаем числители:

\[ \frac{9}{72}-\frac{32}{72} = \frac{9-32}{72} = -\frac{23}{72}. \]

Ответ:

\[ \boxed{-\frac{23}{72}} \]

---

2. Упростить выражение

а) \(6a^3b^3\cdot(-4a^5b)\)

Сначала перемножаем числовые коэффициенты:

\[ 6\cdot(-4)=-24. \]

Теперь работаем с одинаковыми буквами. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ a^3\cdot a^5=a^{3+5}=a^8. \]

У буквы \(b\) во втором множителе показатель не написан. Это означает:

\[ b=b^1. \]

Поэтому:

\[ b^3\cdot b=b^3\cdot b^1=b^{3+1}=b^4. \]

Объединяем результат:

\[ 6a^3b^3\cdot(-4a^5b) = -24a^8b^4. \]

Ответ:

\[ \boxed{-24a^8b^4} \]

Главное использованное правило:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]

---

б) \((6+x)(x-2)\)

Раскрываем скобки: каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй.

Сначала умножаем \(6\):

\[ 6\cdot x=6x, \]

\[ 6\cdot(-2)=-12. \]

Теперь умножаем \(x\):

\[ x\cdot x=x^2, \]

\[ x\cdot(-2)=-2x. \]

Записываем всё вместе:

\[ (6+x)(x-2)=6x-12+x^2-2x. \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ 6x-2x=4x. \]

Располагаем слагаемые по убыванию степени:

\[ x^2+4x-12. \]

Ответ:

\[ \boxed{x^2+4x-12} \]

---

3. Разложить на множители

а) \(18x^4-4x^5\)

Ищем общий множитель обоих слагаемых.

У чисел \(18\) и \(4\) общий множитель — \(2\).

В степенях \(x^4\) и \(x^5\) наименьшая степень — \(x^4\).

Значит, общий множитель:

\[ 2x^4. \]

Теперь делим каждое слагаемое на \(2x^4\):

\[ \frac{18x^4}{2x^4}=9, \]

\[ \frac{-4x^5}{2x^4}=-2x. \]

Выносим \(2x^4\) за скобки:

\[ 18x^4-4x^5=2x^4(9-2x). \]

Проверим раскрытием скобок:

\[ 2x^4\cdot9=18x^4, \]

\[ 2x^4\cdot(-2x)=-4x^5. \]

Получается исходное выражение.

Ответ:

\[ \boxed{2x^4(9-2x)} \]

---

б) \(13x+x^4\)

В обоих слагаемых есть общий множитель \(x\):

\[ 13x=x\cdot13, \]

\[ x^4=x\cdot x^3. \]

Выносим \(x\) за скобки:

\[ 13x+x^4=x(13+x^3). \]

Можно записать слагаемые в другом порядке:

\[ \boxed{x(x^3+13)}. \]

Проверка:

\[ x\cdot x^3+x\cdot13=x^4+13x. \]

Это то же самое выражение, поскольку сложение можно выполнять в любом порядке.

---

4. Решить уравнение

\[ 5(8-x)=8x+1. \]

Шаг 1. Раскрываем скобки

Число \(5\) умножаем на каждый член в скобках:

\[ 5\cdot8=40, \]

\[ 5\cdot(-x)=-5x. \]

Получаем:

\[ 40-5x=8x+1. \]

Шаг 2. Собираем слагаемые с \(x\) в одной части

Прибавим \(5x\) к обеим частям:

\[ 40-5x+5x=8x+1+5x. \]

Слева \(-5x+5x=0\), поэтому:

\[ 40=13x+1. \]

Шаг 3. Переносим число \(1\)

Вычтем \(1\) из обеих частей:

\[ 40-1=13x+1-1, \]

\[ 39=13x. \]

Шаг 4. Делим на \(13\)

\[ x=\frac{39}{13}=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=3} \]

Проверка

Подставим \(x=3\) в исходное уравнение:

\[ 5(8-3)=5\cdot5=25, \]

\[ 8\cdot3+1=24+1=25. \]

Левая и правая части равны, значит, решение верное.

---

5. Упростить выражение

\[ (x-4)^2-(x-5)(x+5). \]

Здесь нужно раскрыть обе части.

Первая часть

\[ (x-4)^2=(x-4)(x-4). \]

Умножаем:

\[ x\cdot x=x^2, \]

\[ x\cdot(-4)=-4x, \]

\[ (-4)\cdot x=-4x, \]

\[ (-4)\cdot(-4)=16. \]

Поэтому:

\[ (x-4)^2=x^2-4x-4x+16=x^2-8x+16. \]

Вторая часть

Используем формулу разности квадратов:

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Здесь \(a=x\), \(b=5\), поэтому:

\[ (x-5)(x+5)=x^2-25. \]

Подставляем оба результата:

\[ (x-4)^2-(x-5)(x+5) = (x^2-8x+16)-(x^2-25). \]

Перед второй скобкой стоит минус, поэтому при раскрытии скобок знаки внутри меняются:

\[ x^2-8x+16-x^2+25. \]

Сокращаем \(x^2-x^2\):

\[ -8x+16+25=-8x+41. \]

Обычно записываем число первым:

\[ \boxed{41-8x}. \]

---

6. Решить систему

\[ \begin{cases} 3x-y=9,\\ 2x+y=11. \end{cases} \]

Здесь удобно сложить уравнения, потому что \(-y\) и \(+y\) уничтожат друг друга:

\[ (3x-y)+(2x+y)=9+11. \]

Раскрываем левую часть:

\[ 3x+2x-y+y=20. \]

Так как:

\[ -y+y=0, \]

остаётся:

\[ 5x=20. \]

Делим обе части на \(5\):

\[ x=4. \]

Теперь находим \(y\). Подставим \(x=4\), например, во второе уравнение:

\[ 2x+y=11, \]

\[ 2\cdot4+y=11, \]

\[ 8+y=11. \]

Вычитаем \(8\):

\[ y=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=4,\quad y=3} \]

Проверка

Первое уравнение:

\[ 3\cdot4-3=12-3=9. \]

Второе уравнение:

\[ 2\cdot4+3=8+3=11. \]

Оба равенства выполняются, значит:

\[ \boxed{x=4,\ y=3}. \]