Реши уравнение (x + 2) ^ 4 - 4 * (x + 2) ^ 2 - 5 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=-2+\sqrt5,\qquad x_2=-2-\sqrt5.
\]
Решение:
Сделаем замену: \[ t=(x+2)^2. \] Тогда \[ (x+2)^4=t^2, \] и уравнение принимает вид: \[ t^2-4t-5=0. \]
Разложим на множители: \[ (t-5)(t+1)=0. \]
Отсюда: \[ t=5 \quad \text{или} \quad t=-1. \]
Но \(t=(x+2)^2\ge 0\), поэтому \(t=-1\) не подходит. Остаётся: \[ (x+2)^2=5. \]
Извлекаем корень: \[ x+2=\pm\sqrt5, \] значит, \[ \boxed{x=-2\pm\sqrt5}. \]
Проверка: при \((x+2)^2=5\) \[ (x+2)^4-4(x+2)^2-5=25-20-5=0. \] Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияРеши это дискреминантом
Решим с помощью дискриминанта.
Сделаем замену: \[ t=(x+2)^2. \] Тогда исходное уравнение превращается в квадратное: \[ t^2-4t-5=0. \]
Для него: \[ a=1,\quad b=-4,\quad c=-5. \]
Находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36. \]
Тогда \[ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{4\pm6}{2}. \]
Получаем: \[ t_1=5,\qquad t_2=-1. \]
Так как \(t=(x+2)^2\ge 0\), значение \(t=-1\) не подходит. Поэтому: \[ (x+2)^2=5, \] \[ x+2=\pm\sqrt5. \]
Ответ: \[ \boxed{x_1=-2+\sqrt5,\qquad x_2=-2-\sqrt5}. \]
