В выражении (3𝑥−2)𝑛 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Коэффициент при 𝑥2 оказался равен 216 . Введите все значения, которые может принимать 𝑛 .

Краткий ответ: \(\boxed{n=4}\).

При раскрытии \[ (3x-2)^n \] коэффициент при \(x^2\) получается выбором двух множителей \(3x\), а из остальных \(n-2\) множителей берём \(-2\): \[ \binom{n}{2}(3x)^2(-2)^{n-2}. \]

Значит, коэффициент при \(x^2\) равен \[ \binom{n}{2}\cdot 9\cdot(-2)^{n-2}. \]

По условию: \[ \binom{n}{2}\cdot 9\cdot(-2)^{n-2}=216, \] \[ \binom{n}{2}(-2)^{n-2}=24. \]

Правая часть положительна, поэтому \(n\) должно быть чётным. Проверим:

• \(n=2\): \(\binom22\cdot1=1\);
• \(n=4\): \[ \binom42\cdot(-2)^2=6\cdot4=24; \]
• при \(n\ge 6\) значение уже не меньше \[ \binom62\cdot2^4=15\cdot16=240>24. \]

Проверка: \[ \binom42\cdot 9\cdot(-2)^2=6\cdot9\cdot4=216. \]

Следовательно, \[ \boxed{n=4}. \]