Решить все с рисунками

A1

\[ x^2-2x-8\ge 0 \] Разложим на множители: \[ (x-4)(x+2)\ge0. \]

Корни: \(-2\) и \(4\). Знаки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-2)&-2&(-2;4)&4&(4;+\infty)\\ \hline (x-4)(x+2)&+&0&-&0&+ \end{array} \]

Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty)} \] Вариант 1.

---

A2

\[ (x-4)(9+x)<0 \] \[ (x-4)(x+9)<0. \]

Корни: \(-9\) и \(4\). Произведение отрицательно между корнями:

\[ \boxed{x\in(-9;4)} \]

Вариант 2.

---

A3

\[ \frac{x-1}{x+5}\le0 \]

Критические точки: \(x=-5\) и \(x=1\). Точка \(-5\) исключается, \(1\) включается:

\[ \boxed{x\in(-5;1]} \]

Вариант 4.

---

B1

\[ x^2-2x\le0 \]

\[ x^2-2x=x(x-2). \]

Парабола \(y=x^2-2x\) направлена вверх и пересекает ось \(Ox\) в точках \(0\) и \(2\):

       ∪
------●------●------> x
      0      2

Ниже оси \(Ox\) она находится на отрезке:

\[ \boxed{x\in[0;2]} \]

---

C1

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{x-4}{3}<-1 \]

Умножим на \(12\):

\[ 3x^2+4x-16<-12, \] \[ 3x^2+4x-4<0. \]

Корни: \[ x_1=-2,\qquad x_2=\frac23. \]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный:

\[ x\in\left(-2;\frac23\right). \]

Целые решения: \(-1,0\). Наибольшее:

\[ \boxed{0} \]

---

C2

\[ \begin{cases} 8-x<0,\\ (x+3)(15-x)\ge0. \end{cases} \]

Из первого неравенства: \[ x>8. \]

Из второго: \[ x\in[-3;15]. \]

Пересечение:

\[ \boxed{x\in(8;15]} \]

Решение

A1

\[ x^2-2x-8\ge 0 \]

Разложим на множители: \[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2). \]

Получаем: \[ (x-4)(x+2)\ge0. \]

Нули произведения: \[ x=-2,\qquad x=4. \]

Знак произведения положителен вне корней:

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;-2]&[-2;4]&[4;+\infty)\\ \hline (x-4)(x+2)&+&-&+ \end{array} \]

Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty)} \]

---

A2

\[ (x-4)(x+9)<0 \]

Нули множителей: \[ x=4,\qquad x=-9. \]

Произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями:

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;-9)&(-9;4)&(4;+\infty)\\ \hline (x-4)(x+9)&+&-&+ \end{array} \]

Ответ: \[ \boxed{x\in(-9;4)} \]

---

A3

\[ \frac{x-1}{x+5}\le0 \]

Критические точки: \[ x=1 \quad\text{и}\quad x=-5. \]

При \(x=-5\) знаменатель равен нулю, поэтому эта точка не входит в ответ.
При \(x=1\) дробь равна нулю, поэтому точка входит.

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;-5)&(-5;1)&(1;+\infty)\\ \hline \dfrac{x-1}{x+5}&+&-&+ \end{array} \]

Ответ: \[ \boxed{x\in(-5;1]} \]

---

B1

\[ x^2-2x\le0 \]

Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(x-2)\le0. \]

Корни: \[ x=0,\qquad x=2. \]

Парабола \(y=x^2-2x\) направлена вверх, поэтому ниже оси \(Ox\) она расположена между корнями:

          y
          ↑
          │     ∪
──────────●─────●────────→ x
          0     2
             −

Точки входят, так как неравенство нестрогое:

\[ \boxed{x\in[0;2]} \]

---

C1

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{x-4}{3}<-1 \]

Умножим всё неравенство на \(12\):

\[ 3x^2+4(x-4)<-12. \]

Раскроем скобки: \[ 3x^2+4x-16<-12, \] \[ 3x^2+4x-4<0. \]

Найдём корни: \[ D=4^2-4\cdot3\cdot(-4)=16+48=64, \] \[ x_{1,2}=\frac{-4\pm8}{6}. \]

Получаем: \[ x_1=-2,\qquad x_2=\frac23. \]

Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому выражение отрицательно между корнями:

\[ x\in\left(-2;\frac23\right). \]

Целые решения: \[ -1,\quad 0. \]

Наибольшее целое решение:

\[ \boxed{0} \]

---

C2

\[ \begin{cases} 8-x<0,\\ (x+3)(15-x)\ge0. \end{cases} \]

Из первого неравенства: \[ 8-x<0, \] \[ x>8. \]

Из второго: \[ (x+3)(15-x)\ge0. \]

Нули: \[ x=-3,\qquad x=15. \]

Произведение неотрицательно между корнями:

\[ x\in[-3;15]. \]

Пересекаем решения:

\[ x>8,\qquad x\in[-3;15]. \]

Следовательно: \[ \boxed{x\in(8;15]}. \]