Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Изучение концепций разложения на множители
Я рассматриваю принцип, согласно которому, если произведение равно нулю, по крайней мере один множитель должен быть равен нулю. Например, для чисел, сумма которых равна 5, я хочу разложить квадратный трёхчлен вроде x² - 5x + 6. Итак, я представляю его в виде (x-2)(x-3), где произведение равно 6, а сумма равна -5, поскольку -2 + -3 равно -5. Отлично, а теперь я добавлю следующую строку к этому процессу!
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Разложим многочлен на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Следовательно, корни уравнения:
\[ \boxed{x=2;\ 3}. \]
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как решить это уравнение через дискриминант
Решим через дискриминант.
Дано уравнение:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Коэффициенты:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6. \]
Находим дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
Так как \(D>0\), уравнение имеет два корня:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt1}{2\cdot1} =\frac{5\pm1}{2}. \]
Получаем:
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=2}. \]
