0.33 есеп 1-2

Қысқаша жауап:

1. \(y=7\);
2. \(x=6\).

1) \(\sqrt{y+2}-\sqrt{y-6}=2\)

Анықталу облысы: \(y\ge 6\).

\[ a=\sqrt{y+2},\qquad b=\sqrt{y-6} \]

Онда:

\[ a-b=2 \]

Ал радикалдардың квадраттарының айырмасы:

\[ a^2-b^2=(y+2)-(y-6)=8 \]

Айырма квадраттары формуласын қолданамыз:

\[ (a-b)(a+b)=8 \]

\[ 2(a+b)=8 \Rightarrow a+b=4 \]

Екі теңдеуді қосамыз:

\[ \begin{cases} a-b=2,\\ a+b=4 \end{cases} \Rightarrow a=3,\ b=1 \]

Сонда:

\[ \sqrt{y+2}=3 \Rightarrow y+2=9 \Rightarrow \boxed{y=7} \]

Тексеру:

\[ \sqrt9-\sqrt1=3-1=2. \]

2) \(\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2\)

Анықталу облысы: \(x\le 10\).

\[ a=\sqrt{22-x},\qquad b=\sqrt{10-x} \]

Онда:

\[ a-b=2 \]

Квадраттарының айырмасы:

\[ a^2-b^2=(22-x)-(10-x)=12 \]

\[ (a-b)(a+b)=12 \]

\[ 2(a+b)=12 \Rightarrow a+b=6 \]

Демек:

\[ \begin{cases} a-b=2,\\ a+b=6 \end{cases} \Rightarrow a=4,\ b=2 \]

Сонда:

\[ \sqrt{22-x}=4 \Rightarrow 22-x=16 \Rightarrow \boxed{x=6} \]

Тексеру:

\[ \sqrt{16}-\sqrt4=4-2=2. \]

Әдіс: түбірлерді \(a\) және \(b\) деп белгілеп, \(a-b\) пен \(a^2-b^2\) мәндерін пайдалану.