Реши задание на изображении
Решение неравенств пошагово
Я разбираю неравенства и решаю их по одному. Для первого неравенства я вычитаю \(3x\) и получаю \(x \leq -7\). После проверки оно действительно выполняется при \(x = -7\). Затем для \(1.5x \geq 18\) я получаю \(x \geq 12\), что также подтверждается проверкой. Далее я решаю \(-4x - 17 \leq 6x\) и получаю \(x \geq -1.7\). Наконец, я рассматриваю \(x^2 - 6x + 8 > 0\) и определяю, что положительные области задаются условиями \(x < 2\) или \(x > 4\).
Рассмотрение математических выражений
Я изучаю, как построить таблицу знаков на основе текста, написанного на русском языке. Думаю, важно объяснить правила для линейных неравенств, например как при делении на отрицательное число меняется знак неравенства. Например, в пункте 1 я могу записать \(-x \ge 7\), отметив, что при делении на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный.
Мне нужно тщательно проверить все значения на изображении, начиная со строк вроде «2x ≥ 7 + 3x» и заканчивая восьмым пунктом, убедившись, что они указаны правильно. Я постараюсь сделать решения подробными и одновременно краткими.
Краткий ответ
- \(x\le -7\)
- \(x\ge 12\)
- \(x\ge -\dfrac{17}{10}\)
- \(x\le 1\)
- \(x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty)\)
- \(x\in\left[-\dfrac32;1\right]\)
- \(x\in(0;10)\)
- \(x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\)
Решение
1) \(2x\ge 7+3x\)
Переносим \(3x\) в левую часть:
\[ 2x-3x\ge 7 \]
\[ -x\ge 7 \]
При делении на отрицательное число знак меняется:
\[ \boxed{x\le -7} \]
2) \(1{,}5x\ge 18\)
Делим на положительное число \(1{,}5\):
\[ x\ge \frac{18}{1{,}5} \]
\[ \boxed{x\ge 12} \]
3) \(-4x-17\le 6x\)
Переносим \(-4x\) вправо:
\[ -17\le 10x \]
Делим на \(10\):
\[ \boxed{x\ge -\frac{17}{10}} \]
4) \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-3}{4}\le 1\)
Умножаем всё неравенство на \(4\):
\[ 2x-(x-3)\le 4 \]
\[ 2x-x+3\le 4 \]
\[ x\le 1 \]
\[ \boxed{x\le 1} \]
5) \(x^2-6x+8>0\)
Разложим на множители:
\[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4) \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-4)>0 \]
Произведение положительно вне корней \(2\) и \(4\):
\[ \boxed{x<2\quad\text{или}\quad x>4} \]
6) \(2x^2+x-3\le 0\)
Разложим на множители:
\[ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \]
Корни:
\[ x=-\frac32,\qquad x=1 \]
Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение не положительно между корнями:
\[ \boxed{x\in\left[-\frac32;1\right]} \]
7) \(x^2-10x<0\)
Вынесем \(x\):
\[ x(x-10)<0 \]
Корни: \(0\) и \(10\). Произведение отрицательно между корнями:
\[ \boxed{x\in(0;10)} \]
8) \(x^2-16>0\)
Разность квадратов:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]
Корни: \(-4\) и \(4\). Произведение положительно вне корней:
\[ \boxed{x<-4\quad\text{или}\quad x>4} \]
Правило для квадратных неравенств: сначала находят корни, затем определяют знаки на промежутках. При положительном коэффициенте перед \(x^2\) выражение положительно снаружи корней и отрицательно между ними.
