Формула разности n-ных степеней

Краткий ответ

Формула разности \(n\)-ных степеней:

\[ a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right), \]

где \(n\in\mathbb N\).

Как применять

1. Первый множитель — разность оснований: \((a-b)\).
2. Во второй скобке степени \(a\) уменьшаются от \(n-1\) до \(0\).
3. Степени \(b\) увеличиваются от \(0\) до \(n-1\).
4. Все слагаемые во второй скобке имеют знак «плюс».

Например:

\[ x^5-2^5=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16). \]

Проверка:

\[ (x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)=x^5-32. \]

Частные случаи:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \]

\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). \]