Реши 3 и 9 пример

Краткий ответ

3) \(f(x)=-4x^2+4\)

• \(f(x)>0\) при \(x\in(-1;1)\);
• \(f(x)<0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\);
• наибольшее значение: \(4\) при \(x=0\);
• наименьшего значения нет.

9) \(f(x)=6x^2-2x-3\)

• \(f(x)>0\) при
  \[ x\in\left(-\infty;\frac{1-\sqrt{19}}6\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{19}}6;+\infty\right); \]
• \(f(x)<0\) при
  \[ x\in\left(\frac{1-\sqrt{19}}6;\frac{1+\sqrt{19}}6\right); \]
• наименьшее значение: \(-\dfrac{19}{6}\) при \(x=\dfrac16\);
• наибольшего значения нет.

---

№ 3

\[ y=-4x^2+4 \]

Коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.

1. Вершина параболы

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=0, \qquad y_0=f(0)=4. \]

Вершина:

\[ (0;4). \]

2. Точки пересечения с осью \(Ox\)

\[ -4x^2+4=0, \]

\[ x^2=1,\qquad x_1=-1,\quad x_2=1. \]

Парабола проходит через точки \((-1;0)\) и \((1;0)\). Для построения также можно отметить точку \((0;4)\).

Так как парабола направлена вниз:

\[ \boxed{f(x)>0\text{ при }-1<x<1;} \]

\[ \boxed{f(x)<0\text{ при }x<-1\text{ или }x>1.} \]

Вершина — самая высокая точка, поэтому

\[ \boxed{f_{\max}=4\text{ при }x=0.} \]

Вниз парабола не ограничена, значит наименьшего значения нет.

---

№ 9

\[ y=6x^2-2x-3 \]

Коэффициент \(6>0\), поэтому парабола направлена вверх.

1. Вершина параболы

\[ x_0=-\frac{b}{2a} =-\frac{-2}{2\cdot6} =\frac16. \]

\[ y_0=f\left(\frac16\right) =6\cdot\frac1{36}-2\cdot\frac16-3 =-\frac{19}{6}. \]

Вершина:

\[ \left(\frac16;-\frac{19}{6}\right). \]

Удобно представить функцию в виде:

\[ y=6\left(x-\frac16\right)^2-\frac{19}{6}. \]

2. Нули функции

\[ 6x^2-2x-3=0. \]

Дискриминант:

\[ D=(-2)^2-4\cdot6\cdot(-3)=76. \]

\[ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{76}}{12} =\frac{1\pm\sqrt{19}}6. \]

Так как парабола направлена вверх, она положительна вне корней, а отрицательна между корнями:

\[ \boxed{f(x)>0\text{ при } x<\frac{1-\sqrt{19}}6 \text{ или } x>\frac{1+\sqrt{19}}6;} \]

\[ \boxed{f(x)<0\text{ при } \frac{1-\sqrt{19}}6<x<\frac{1+\sqrt{19}}6.} \]

Вершина — самая низкая точка, поэтому

\[ \boxed{f_{\min}=-\frac{19}{6} \text{ при }x=\frac16.} \]

Наибольшего значения нет, поскольку парабола неограниченно возрастает вверх.