Номер 6
Краткий ответ:
\[
\boxed{x=\frac12;\quad x=2}
\]
Решение
Разложим знаменатели на множители:
\[ 2x^2-x-3=(2x-3)(x+1), \]
\[ 2x^2-9x+9=(2x-3)(x-3), \]
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]
1. ОДЗ
Знаменатели не должны быть равны нулю:
\[ x\ne \frac32,\quad x\ne -1,\quad x\ne 3. \]
2. Приведём к общему знаменателю
Общий знаменатель:
\[ (2x-3)(x+1)(x-3). \]
После умножения уравнения на него:
\[ (x-3)+(x+1)=x(2x-3). \]
Упростим:
\[ 2x-2=2x^2-3x, \]
\[ 2x^2-5x+2=0. \]
Разложим на множители:
\[ (2x-1)(x-2)=0. \]
Отсюда:
\[ x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=2. \]
Оба значения входят в ОДЗ.
3. Проверка
При \(x=\frac12\):
\[ \text{левая часть}=-\frac13+\frac15=-\frac{2}{15}, \qquad \text{правая часть}=-\frac{2}{15}. \]
При \(x=2\):
\[ \text{левая часть}=\frac13-1=-\frac23, \qquad \text{правая часть}=-\frac23. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x=\frac12;\ 2}. \]
Принцип: в дробно-рациональном уравнении сначала находят ОДЗ, затем раскладывают знаменатели на множители и умножают на общий знаменатель. Полученные корни обязательно проверяют по ОДЗ и в исходном уравнении.
Обсуждение
2 сообщенияПредыдущее решение не соответствовало заданию на фото. Решим уравнения № 113.
а)
\[ \frac{-x^2-2x+15}{x^2+4x}=0 \]
ОДЗ:
\[ x^2+4x=x(x+4)\ne0, \]
\[ x\ne0,\qquad x\ne-4. \]
Числитель приравниваем к нулю:
\[ -x^2-2x+15=0, \]
\[ x^2+2x-15=0, \]
\[ (x+5)(x-3)=0. \]
\[ x=-5\quad\text{или}\quad x=3. \]
Оба корня подходят:
\[ \boxed{x=-5;\ 3} \]
б)
\[ \frac7x+\frac1{x-5}=1\frac12=\frac32 \]
ОДЗ:
\[ x\ne0,\qquad x\ne5. \]
Умножим на \(2x(x-5)\):
\[ 14(x-5)+2x=3x(x-5). \]
\[ 16x-70=3x^2-15x, \]
\[ 3x^2-31x+70=0. \]
Разложим на множители:
\[ (3x-10)(x-7)=0. \]
\[ x=\frac{10}{3}\quad\text{или}\quad x=7. \]
Оба корня входят в ОДЗ:
\[ \boxed{x=\frac{10}{3};\ 7} \]
в)
\[ \frac{3x^2+8x-3}{2x+6}=0 \]
ОДЗ:
\[ 2x+6\ne0,\qquad x\ne-3. \]
Числитель:
\[ 3x^2+8x-3=0, \]
\[ (3x-1)(x+3)=0. \]
\[ x=\frac13\quad\text{или}\quad x=-3. \]
Корень \(x=-3\) не подходит по ОДЗ. Поэтому:
\[ \boxed{x=\frac13} \]
Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }-5;\ 3} \]
\[ \boxed{\text{б) }\frac{10}{3};\ 7} \]
\[ \boxed{\text{в) }\frac13} \]
