Реши задание на изображении

Краткий ответ (по фото \(\cos\angle BAC=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)):

\[ \boxed{AB=2\sqrt{10}},\qquad \boxed{S_{\triangle ABC}=12}. \]

Пусть \(BD\) — высота к основанию \(AC\). Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный, поэтому высота \(BD\) делит основание пополам:

\[ AD=DC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6. \]

В прямоугольном треугольнике \(ABD\):

\[ \cos\angle BAC=\frac{AD}{AB}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{6}{AB}, \]

откуда

\[ AB=\frac{6\cdot 10}{3\sqrt{10}} =\frac{20}{\sqrt{10}} =2\sqrt{10}. \]

Найдём высоту \(BD\) по теореме Пифагора:

\[ BD=\sqrt{AB^2-AD^2} =\sqrt{(2\sqrt{10})^2-6^2} =\sqrt{40-36}=2. \]

Площадь треугольника:

\[ S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BD =\frac12\cdot12\cdot2=12. \]

Проверка:

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{6}{2\sqrt{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}, \]

что совпадает с условием.