Реши задание на изображении
Краткий ответ
- Пример целого уравнения: \(3x-7=11\).
- Пример дробно-рационального уравнения: \(\dfrac{2}{x-1}=3\).
- а) \(x=-6\) или \(x=3\);
- б) решений нет;
- скорость первого пешехода — \(6\ \text{км/ч}\), второго — \(5\ \text{км/ч}\).
1. Уравнение а)
\[ \frac{2}{x^2-2x}-\frac{5}{x^2+2x}=\frac1x \]
Разложим знаменатели:
\[ x^2-2x=x(x-2),\qquad x^2+2x=x(x+2). \]
ОДЗ:
\[ x\ne 0,\quad x\ne 2,\quad x\ne -2. \]
Умножим уравнение на \(x(x-2)(x+2)\):
\[ 2(x+2)-5(x-2)=(x-2)(x+2). \]
Раскроем скобки:
\[ 2x+4-5x+10=x^2-4, \]
\[ -3x+14=x^2-4, \]
\[ x^2+3x-18=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+6)(x-3)=0. \]
Отсюда:
\[ x=-6\quad\text{или}\quad x=3. \]
Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ:
\[ \boxed{x=-6;\ 3}. \]
2. Уравнение б)
\[ \frac{2}{x-3}-\frac1x=\frac{6}{x^2-3x} \]
Так как
\[ x^2-3x=x(x-3), \]
ОДЗ:
\[ x\ne 0,\quad x\ne 3. \]
Умножим на \(x(x-3)\):
\[ 2x-(x-3)=6. \]
\[ 2x-x+3=6, \]
\[ x=3. \]
Но \(x=3\) не входит в ОДЗ, поэтому это посторонний корень.
Ответ:
\[ \boxed{\text{решений нет}}. \]
3. Задача о пешеходах
Переведём время:
\[ 24\text{ мин}=\frac{24}{60}=\frac25\text{ ч}. \]
Пусть скорость второго пешехода равна \(x\ \text{км/ч}\). Тогда скорость первого:
\[ x+1\ \text{км/ч}. \]
Время движения каждого:
\[ \frac{12}{x}\quad\text{и}\quad \frac{12}{x+1}. \]
Первый шёл на \(\frac25\) часа меньше:
\[ \frac{12}{x}-\frac{12}{x+1}=\frac25. \]
Приведём левую часть к общему знаменателю:
\[ \frac{12}{x(x+1)}=\frac25. \]
Перемножим крест-накрест:
\[ 60=2x(x+1), \]
\[ x^2+x-30=0, \]
\[ (x-5)(x+6)=0. \]
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x=5\).
Значит:
\[ v_2=5\ \text{км/ч},\qquad v_1=5+1=6\ \text{км/ч}. \]
Проверка:
\[ \frac{12}{5}=2{,}4\text{ ч}=144\text{ мин}, \]
\[ \frac{12}{6}=2\text{ ч}=120\text{ мин}, \]
\[ 144-120=24\text{ мин}. \]
Ответ: первый пешеход — \(6\ \text{км/ч}\), второй — \(5\ \text{км/ч}\).
