Реши задание на изображении

Ответ:
\[ AB=BC=14,\qquad S_{\triangle ABC}=24\sqrt{10}. \]

Пусть \(BD\perp AC\). Так как \(AB=BC\), высота \(BD\) является также медианой:

\[ AD=DC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6. \]

По условию:

\[ \tg\angle BAC=\frac{2\sqrt{10}}{3}. \]

В прямоугольном треугольнике \(ABD\):

\[ \tg\angle BAC=\frac{BD}{AD}, \]

значит,

\[ BD=6\cdot \frac{2\sqrt{10}}{3}=4\sqrt{10}. \]

По теореме Пифагора:

\[ AB=\sqrt{AD^2+BD^2} =\sqrt{6^2+(4\sqrt{10})^2} =\sqrt{36+160} =\sqrt{196}=14. \]

Площадь треугольника:

\[ S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BD =\frac12\cdot12\cdot4\sqrt{10} =24\sqrt{10}. \]

Проверка:

\[ \frac{BD}{AD}=\frac{4\sqrt{10}}6=\frac{2\sqrt{10}}3, \]

условие выполнено.