Тест по предмету «Алгебра» на тему «Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы»

1. Рассмотрим функцию \(f(x)=x^3-3x^2+1\). Выберите все верные утверждения.

   A. Функция возрастает на \((-\infty;0)\).
   B. Функция убывает на \((0;2)\).
   C. Точка \(x=0\) является точкой локального минимума.
   D. Функция возрастает на \((0;2)\).

2. Пусть функция \(f\) дифференцируема на \(\mathbb{R}\), причём \(f'(x)=(x+1)(x-3)^2\). Выберите все верные утверждения.

   A. Функция убывает на \((-\infty;-1)\).
   B. Функция возрастает на \((-1;3)\).
   C. Точка \(x=3\) является точкой локального экстремума.
   D. Функция возрастает на \((3;+\infty)\).

3. Рассмотрим функцию \(f(x)=x+\dfrac{4}{x}\). Выберите все верные утверждения.

   A. Область определения функции: \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
   B. Функция возрастает на \((-2;0)\).
   C. Точка \(x=-2\) является точкой локального максимума.
   D. Точка \(x=2\) является точкой локального минимума.

4. Рассмотрим функцию \(f(x)=x^4-4x^2\). Выберите все верные утверждения.

   A. Функция убывает на \((-\infty;-\sqrt{2})\).
   B. Точка \(x=0\) является точкой локального максимума.
   C. Точки \(x=-\sqrt{2}\) и \(x=\sqrt{2}\) являются точками локального минимума.
   D. Функция возрастает на \((0;\sqrt{2})\).

5. Рассмотрим функцию \(f(x)=\ln x-x\), \(x>0\). Выберите все верные утверждения.

   A. Область определения функции — \((0;+\infty)\).
   B. Функция возрастает на \((0;1)\).
   C. Точка \(x=1\) является точкой локального минимума.
   D. Функция убывает на \((1;+\infty)\).

Ответы

1 — A, B
2 — A, B, D
3 — A, C, D
4 — A, B, C
5 — A, B, D