Номер 9
Краткий ответ: все 6 неравенств верны при любых действительных значениях переменной.
Принцип: чтобы доказать \(A<B\), найдём \(B-A\) и покажем, что разность положительна. Для \(A\le B\) достаточно показать, что \(B-A\ge0\).
\[ p(p+1)-(p-3)(p+4) =p^2+p-(p^2+p-12)=12>0. \] Значит, \[ (p-3)(p+4)<p(p+1). \]
\[ (x+1)^2-x(x+2) =x^2+2x+1-(x^2+2x)=1>0. \] Следовательно, \[ (x+1)^2>x(x+2). \]
\[ (a-5)(a+2)-(a+5)(a-8) =(a^2-3a-10)-(a^2-3a-40)=30>0. \] Поэтому \[ (a-5)(a+2)>(a+5)(a-8). \]
\[ (y+4)^2-y(y+8) =(y^2+8y+16)-(y^2+8y)=16>0. \] Значит, \[ y(y+8)<(y+4)^2. \]
\[ 6a^2-20a+25-(2a-5)^2 =6a^2-20a+25-(4a^2-20a+25) =2a^2\ge0. \] Следовательно, \[ (2a-5)^2\le6a^2-20a+25. \] Равенство достигается при \(a=0\).
\[ a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2)^2\ge0. \] Значит, \[ a^2+4\ge4a. \] Равенство достигается при \(a=2\).
В пунктах 1–4 разность строго положительна, а в пунктах 5–6 она является квадратом или произведением на квадрат и неотрицательна.
