Реши подробно с формулами

Краткий ответ

а) Проекции на координатные плоскости

\[ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Точка} & Oxz & Oxy & Oyz\\ \hline A(2;-3;5) & (2;0;5) & (2;-3;0) & (0;-3;5)\\[2mm] B\left(3;-5;\frac12\right) & \left(3;0;\frac12\right) & \left(3;-5;0\right) & \left(0;-5;\frac12\right)\\[2mm] C\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right) & \left(-\sqrt3;0;\sqrt5-\sqrt3\right) & \left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};0\right) & \left(0;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right) \end{array} \]

б) Проекции на координатные оси

\[ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Точка} & Ox & Oy & Oz\\ \hline A(2;-3;5) & (2;0;0) & (0;-3;0) & (0;0;5)\\[2mm] B\left(3;-5;\frac12\right) & (3;0;0) & (0;-5;0) & \left(0;0;\frac12\right)\\[2mm] C\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right) & (-\sqrt3;0;0) & \left(0;-\frac{\sqrt2}{2};0\right) & (0;0;\sqrt5-\sqrt3) \end{array} \]

Объяснение правила

Пусть дана точка \(M(x;y;z)\).

• При проекции на плоскость \(Oxz\) координата \(y\) становится равной нулю: \[ M_{Oxz}=(x;0;z). \]

• При проекции на плоскость \(Oxy\) координата \(z\) становится равной нулю: \[ M_{Oxy}=(x;y;0). \]

• При проекции на плоскость \(Oyz\) координата \(x\) становится равной нулю: \[ M_{Oyz}=(0;y;z). \]

Для проекции на оси координат две координаты обнуляются:

\[ M_{Ox}=(x;0;0),\qquad M_{Oy}=(0;y;0),\qquad M_{Oz}=(0;0;z). \]

Например, для точки \(C\):

\[ C\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right). \]

На плоскость \(Oxz\):

\[ C_{Oxz}=\left(-\sqrt3;0;\sqrt5-\sqrt3\right), \]

так как у всех точек плоскости \(Oxz\) вторая координата равна нулю.

На ось \(Oy\):

\[ C_{Oy}=\left(0;-\frac{\sqrt2}{2};0\right), \]

так как у всех точек оси \(Oy\) первая и третья координаты равны нулю.

Проверка: в каждой проекции на плоскость обнулена координата, перпендикулярная этой плоскости, а в каждой проекции на ось сохранена только координата этой оси.