Реши задание на изображении

Краткий ответ

Решение

Так как \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\), все значения положительны. Используем формулы:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]

1) \(\cos\alpha=0{,}8=\frac45\)

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\frac35. \]

Тогда

\[ \tg\alpha=\frac{3/5}{4/5}=\frac34, \qquad \ctg\alpha=\frac43. \]

2) \(\sin\alpha=\frac5{13}\)

\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}. \]

Тогда

\[ \tg\alpha=\frac{5/13}{12/13}=\frac5{12}, \qquad \ctg\alpha=\frac{12}5. \]

3) \(\tg\alpha=2{,}4=\frac{12}{5}\)

Можно представить катеты прямоугольного треугольника как \(12\) и \(5\). Тогда гипотенуза:

\[ \sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13. \]

Следовательно,

\[ \sin\alpha=\frac{12}{13}, \qquad \cos\alpha=\frac5{13}, \qquad \ctg\alpha=\frac5{12}. \]

4) \(\ctg\alpha=\frac7{24}\)

Катеты можно принять равными \(7\) и \(24\), тогда гипотенуза:

\[ \sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25. \]

Поэтому

\[ \cos\alpha=\frac7{25}, \qquad \sin\alpha=\frac{24}{25}, \qquad \tg\alpha=\frac{24}{7}. \]

Проверка

Во всех случаях выполняются равенства:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \tg\alpha\cdot\ctg\alpha=1. \]