Сделай 2.3 методом интервалов

Краткий ответ:

а) \(x^2-x>0\): \[ x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty). \]

б) \(2x+x^2\le 0\): \[ x\in[-2;0]. \]

в) \(x^2-3x\ge 0\): \[ x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty). \]

г) \(5x+x^2<0\): \[ x\in(-5;0). \]

Решение методом интервалов

а) \(x^2-x>0\)

Разложим на множители: \[ x^2-x=x(x-1). \]

Нули произведения: \[ x=0,\qquad x=1. \]

Расставляем знаки:

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;0)&(0;1)&(1;+\infty)\\ \hline x(x-1)&+&-&+ \end{array} \]

Нужно \(>0\), поэтому выбираем интервалы со знаком «+». Точки \(0\) и \(1\) не включаются:

\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)}. \]

б) \(2x+x^2\le0\)

\[ 2x+x^2=x(x+2). \]

Нули: \[ x=-2,\qquad x=0. \]

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;-2)&(-2;0)&(0;+\infty)\\ \hline x(x+2)&+&-&+ \end{array} \]

Нужно \(\le0\), поэтому берём отрицательный промежуток и нули:

\[ \boxed{x\in[-2;0]}. \]

в) \(x^2-3x\ge0\)

\[ x^2-3x=x(x-3). \]

Нули: \[ x=0,\qquad x=3. \]

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;0)&(0;3)&(3;+\infty)\\ \hline x(x-3)&+&-&+ \end{array} \]

Нужно \(\ge0\), значит, включаем положительные промежутки и корни:

\[ \boxed{x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)}. \]

г) \(5x+x^2<0\)

\[ 5x+x^2=x(x+5). \]

Нули: \[ x=-5,\qquad x=0. \]

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;-5)&(-5;0)&(0;+\infty)\\ \hline x(x+5)&+&-&+ \end{array} \]

Нужно \(<0\), поэтому берём только отрицательный промежуток:

\[ \boxed{x\in(-5;0)}. \]

Правило: при строгих знаках \(>\) и \(<\) корни не включаются, а при \(\ge\) и \(\le\) включаются.