теорема Виета

Краткий ответ: для квадратного уравнения
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0, \] если его корни \(x_1\) и \(x_2\), то по теореме Виета:

\[ \boxed{x_1+x_2=-\frac ba},\qquad \boxed{x_1x_2=\frac ca}. \]

Для приведённого уравнения
\[ x^2+px+q=0: \] \[ \boxed{x_1+x_2=-p},\qquad \boxed{x_1x_2=q}. \]

Как применять

Рассмотрим уравнение:

\[ x^2-5x+6=0. \]

Нужно найти два числа, которые:

1. в сумме дают \(5\), потому что \(x_1+x_2=-(-5)=5\);
2. в произведении дают \(6\).

Это числа \(2\) и \(3\). Значит,

\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]

Проверка

Подставим корни в формулы Виета:

\[ 2+3=5, \] а коэффициент при \(x\) равен \(-5\), поэтому

\[ -( -5)=5. \]

Также:

\[ 2\cdot3=6. \]

Обе формулы выполняются.

Главное правило знаков

В уравнении

\[ x^2+px+q=0 \]

сумма корней равна противоположному коэффициенту при \(x\), а произведение — свободному члену.

Например:

\[ x^2+7x+12=0. \]

Нужны числа, сумма которых равна \(-7\), а произведение — \(12\). Это \(-3\) и \(-4\), поэтому корни:

\[ x_1=-3,\qquad x_2=-4. \]