Номер 240

Ответ:

\[ \begin{aligned} 1)\quad &(x^2\cos x)'=2x\cos x-x^2\sin x;\\[2mm] 2)\quad &(x^3\ln x)'=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1);\\[2mm] 3)\quad &(5x\ctg x)'=5\ctg x-\frac{5x}{\sin^2x};\\[2mm] 4)\quad &(\sin 2x\cdot \tg x)'=2\cos 2x\cdot\tg x+ \frac{\sin 2x}{\cos^2x};\\[2mm] 5)\quad &(e^{-x}\sin x)'=e^{-x}(\cos x-\sin x);\\[2mm] 6)\quad &(e^x\cos x)'=e^x(\cos x-\sin x). \end{aligned} \]

Ключевые правила

Для произведения функций:

\[ (uv)'=u'v+uv'. \]

Также используем:

\[ (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\sin x)'=\cos x, \]

\[ (\tg x)'=\frac1{\cos^2x},\qquad (\ctg x)'=-\frac1{\sin^2x}, \]

\[ (\ln x)'=\frac1x,\qquad (e^x)'=e^x. \]

Например, для пункта 1:

\[ (x^2\cos x)'=(x^2)'\cos x+x^2(\cos x)' =2x\cos x-x^2\sin x. \]

Для пункта 4 учитываем сложную функцию:

\[ (\sin 2x)'=2\cos 2x, \]

поэтому множитель \(2\) обязателен. В пунктах 5 и 6 применяется правило произведения; в пункте 5 дополнительно:

\[ (e^{-x})'=-e^{-x}. \]