Риши номер 10 и 11

Краткий ответ (переменные считаются действительными числами).

№ 10

а) \(\displaystyle \frac{x}{x-2}\):
\[ x\ne 2. \]

б) \(\displaystyle \frac{b+4}{b^2+7}\):
\[ b\in\mathbb R. \]

в) \(\displaystyle \frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}\):
\[ y\ne 0,\quad y\ne 3. \]

г) \(\displaystyle \frac{a+10}{a(a-1)}-1\):
\[ a\ne 0,\quad a\ne 1. \]

№ 11

а) \(x^2-8x+9\):
\[ x\in\mathbb R. \]

б) \(\displaystyle \frac1{6x-3}\):
\[ x\ne \frac12. \]

в) \(\displaystyle \frac{3x-6}{7}\):
\[ x\in\mathbb R. \]

г) \(\displaystyle \frac{x^2-8}{4x(x+1)}\):
\[ x\ne 0,\quad x\ne -1. \]

д) \(\displaystyle \frac{x-5}{x^2+25}-3x\):
\[ x\in\mathbb R. \]

е) \(\displaystyle \frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}\):
\[ x\ne -8,\quad x\ne 0. \]

Как находить допустимые значения

Рациональное выражение имеет смысл, если ни один знаменатель не равен нулю.

Например, в № 11б: \[ 6x-3\ne0 \quad\Rightarrow\quad 6x\ne3 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac12. \]

В № 10б: \[ b^2+7\ge 7>0, \] поэтому знаменатель никогда не равен нулю и подходят все действительные \(b\).

В № 11д: \[ x^2+25\ge25>0, \] значит, также подходят все действительные \(x\).

Проверка: исключённые значения действительно обращают знаменатель в ноль, а при остальных значениях знаменатели ненулевые.