1 и 2

1. \(y=6x-2x^3\)

Ответ:

• функция возрастает на \((-1;1)\);
• функция убывает на \((-\infty;-1)\) и \((1;+\infty)\).

Решение:

Найдём производную:

\[ y'=6-6x^2=6(1-x^2). \]

Критические точки:

\[ 6(1-x^2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1. \]

Определим знак производной:

• при \(x<-1\) и \(x>1\): \(y'<0\), функция убывает;
• при \(-1<x<1\): \(y'>0\), функция возрастает.

2. \(y=\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\), \(x\ne0\)

Ответ:

• точка максимума: \(\boxed{(-3;-2)}\);
• точка минимума: \(\boxed{(3;2)}\).

Решение:

Найдём производную:

\[ y'=\frac13-\frac{3}{x^2} =\frac{x^2-9}{3x^2}. \]

Критические точки:

\[ x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3. \]

Также \(x=0\) не входит в область определения.

Знак производной:

• на \((-\infty;-3)\) и \((3;+\infty)\): \(y'>0\);
• на \((-3;0)\) и \((0;3)\): \(y'<0\).

Значит:

• при \(x=-3\) функция переходит от возрастания к убыванию — это максимум;
• при \(x=3\) функция переходит от убывания к возрастанию — это минимум.

Значения функции:

\[ y(-3)=\frac{-3}{3}+\frac{3}{-3}=-1-1=-2, \]

\[ y(3)=\frac{3}{3}+\frac{3}{3}=1+1=2. \]