476

Краткий ответ:

а) \(\angle A=\angle C=84^\circ,\quad \angle B=\angle D=96^\circ\).

б) \(\angle A=\angle C=117^\circ30'\),
\(\angle B=\angle D=62^\circ30'\).

в) \(\angle A=\angle C=71^\circ,\quad \angle B=\angle D=109^\circ\).

г) \(\angle A=\angle C=120^\circ,\quad \angle B=\angle D=60^\circ\).

д) \(\angle A=\angle C=53^\circ,\quad \angle B=\angle D=127^\circ\).

Основные свойства

В параллелограмме:

\[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D, \]

а сумма соседних углов равна \(180^\circ\):

\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]

Решение

а)

\[ \angle B=180^\circ-84^\circ=96^\circ. \]

Противоположные углы равны, поэтому:

\[ \angle C=84^\circ,\qquad \angle D=96^\circ. \]

б) Пусть \(\angle B=x\). Тогда \(\angle A=180^\circ-x\). По условию:

\[ (180^\circ-x)-x=55^\circ, \]

\[ 180^\circ-2x=55^\circ,\qquad 2x=125^\circ, \]

\[ \angle B=62{,}5^\circ=62^\circ30'. \]

Тогда:

\[ \angle A=180^\circ-62^\circ30'=117^\circ30'. \]

в) Так как \(\angle A=\angle C\), то:

\[ 2\angle A=142^\circ,\qquad \angle A=\angle C=71^\circ. \]

\[ \angle B=\angle D=180^\circ-71^\circ=109^\circ. \]

г) По условию \(\angle A=2\angle B\). Тогда:

\[ 2\angle B+\angle B=180^\circ, \]

\[ 3\angle B=180^\circ,\qquad \angle B=60^\circ. \]

Следовательно,

\[ \angle A=120^\circ,\qquad \angle C=120^\circ,\qquad \angle D=60^\circ. \]

д) Рассмотрим треугольник \(ACD\):

\[ \angle ADC=180^\circ-16^\circ-37^\circ=127^\circ. \]

Угол \(\angle ADC\) — это угол \(D\) параллелограмма, поэтому:

\[ \angle D=127^\circ,\qquad \angle B=127^\circ. \]

Тогда:

\[ \angle A=\angle C=180^\circ-127^\circ=53^\circ. \]

Проверка: во всех случаях противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\).