1 вариант
Краткий ответ:
а) \(x_1=1,\ x_2=-\dfrac92\);
б) \(x_1=0,\ x_2=6\);
в) \(x_1=\dfrac25,\ x_2=-\dfrac25\);
г) \(x_1=7,\ x_2=9\).Стороны прямоугольника: \(4\) см и \(6\) см.
Другой корень: \(-2\), коэффициент \(p=-7\).
Решение
1а) \(2x^2+7x-9=0\)
Находим дискриминант:
\[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121. \]
\[ x=\frac{-7\pm\sqrt{121}}{2\cdot2} =\frac{-7\pm11}{4}. \]
\[ x_1=1,\qquad x_2=-\frac92. \]
1б) \(3x^2=18x\)
Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
\[ 3x^2-18x=0, \]
\[ 3x(x-6)=0. \]
Отсюда:
\[ x_1=0,\qquad x_2=6. \]
1в) \(100x^2-16=0\)
\[ 100x^2=16, \qquad x^2=\frac4{25}. \]
Следовательно,
\[ x_1=\frac25,\qquad x_2=-\frac25. \]
1г) \(x^2-16x+63=0\)
Разложим на множители:
\[ x^2-16x+63=(x-7)(x-9). \]
Тогда
\[ (x-7)(x-9)=0, \]
\[ x_1=7,\qquad x_2=9. \]
2. Прямоугольник
Пусть стороны равны \(a\) и \(b\) см. По условию:
\[ 2(a+b)=20 \quad\Rightarrow\quad a+b=10, \]
\[ ab=24. \]
Стороны являются корнями уравнения:
\[ t^2-10t+24=0. \]
Разложим:
\[ t^2-10t+24=(t-4)(t-6)=0. \]
Значит,
\[ a=4\text{ см},\qquad b=6\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(4+6)=20\text{ см},\qquad 4\cdot6=24\text{ см}^2. \]
3. Уравнение \(x^2+px-18=0\)
Один корень равен \(9\). Подставим его:
\[ 9^2+9p-18=0, \]
\[ 81+9p-18=0, \]
\[ 9p+63=0, \qquad p=-7. \]
По теореме Виета произведение корней равно \(-18\). Если второй корень обозначить \(x_2\), то:
\[ 9x_2=-18, \qquad x_2=-2. \]
Проверка:
\[ x^2-7x-18=(x-9)(x+2), \]
поэтому корни действительно \(9\) и \(-2\).
