Привет!

Похоже, ты имеешь в виду тему: «Рациональные числа, числовые и буквенные выражения, тождества и уравнения». Разберём её как одну систему.

1. Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби:

\[ \frac{m}{n}, \qquad n\ne 0, \]

где \(m\) и \(n\) — целые числа.

Примеры:

\[ \frac34,\quad -\frac57,\quad 6=\frac61,\quad 0{,}25=\frac14. \]

К рациональным относятся:

• натуральные числа;
• целые числа;
• обыкновенные дроби;
• конечные десятичные дроби;
• бесконечные периодические дроби, например \(0,(3)=\frac13\).

Действия с дробями

Сложение и вычитание:

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}. \]

Например:

\[ \frac23+\frac15=\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}. \]

Умножение:

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}. \]

Деление:

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c},\qquad c\ne0. \]

Правила знаков

При умножении и делении:

\[ +\cdot+=+,\qquad -\cdot-=+, \]

\[ +\cdot-= -,\qquad -\cdot+=-. \]

При сложении чисел с одинаковыми знаками складываем модули и сохраняем знак:

\[ -3+(-5)=-8. \]

При разных знаках вычитаем меньший модуль из большего:

\[ -8+3=-5. \]

---

2. Числовые и буквенные выражения

Числовое выражение состоит только из чисел и знаков действий:

\[ 18-4\cdot3. \]

Его значение:

\[ 18-4\cdot3=18-12=6. \]

Буквенное выражение содержит буквы:

\[ 3x+5,\qquad 2(a+b),\qquad \frac{x}{4}. \]

Буква обозначает неизвестное или переменное число.

Например, если \(x=4\), то:

\[ 3x+5=3\cdot4+5=17. \]

Порядок действий

1. Действия в скобках.
2. Степени.
3. Умножение и деление.
4. Сложение и вычитание.

Например:

\[ 2+3\cdot(5-1)=2+3\cdot4=14. \]

---

3. Раскрытие скобок

Используется распределительный закон:

\[ a(b+c)=ab+ac, \]

\[ a(b-c)=ab-ac. \]

Примеры:

\[ 3(x+2)=3x+6, \]

\[ 5(2x-1)=10x-5. \]

Если перед скобками стоит минус, знаки внутри меняются:

\[ -(x+4)=-x-4, \]

\[ -(x-7)=-x+7. \]

---

4. Подобные слагаемые

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.

Например:

\[ 3x,\quad 7x,\quad -x \]

— подобные, поэтому их можно складывать:

\[ 3x+7x-x=9x. \]

А выражения \(3x\) и \(3x^2\) подобными не являются.

Пример упрощения:

\[ 4x+3-2x+7=2x+10. \]

---

5. Тождество

Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

Например:

\[ 2(x+3)=2x+6. \]

Проверим при \(x=5\):

\[ 2(5+3)=16,\qquad 2\cdot5+6=16. \]

Но тождество верно не только при \(x=5\), а при любом \(x\).

Основные тождества:

\[ a(b+c)=ab+ac; \]

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2; \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2; \]

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Например:

\[ (x+4)^2=x^2+8x+16. \]

Тождественное преобразование — это изменение выражения так, чтобы его значение не изменилось:

\[ 3(x+2)-x=3x+6-x=2x+6. \]

---

6. Чем тождество отличается от уравнения

Тождество

\[ 2(x+1)=2x+2. \]

Оно верно при любом \(x\).

Уравнение

\[ 2x+1=7. \]

Оно верно только при определённом значении:

\[ 2x=6, \]

\[ x=3. \]

Число \(3\) называется корнем уравнения.

---

7. Решение уравнений

Главная цель — оставить неизвестную \(x\) одну.

При решении можно:

• прибавлять или вычитать одно и то же число из обеих частей;
• умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число;
• раскрывать скобки;
• приводить подобные слагаемые.

Пример

\[ 3(x-2)+4=2x+7. \]

Раскроем скобки:

\[ 3x-6+4=2x+7. \]

Приведём подобные:

\[ 3x-2=2x+7. \]

Перенесём \(2x\) в левую часть:

\[ 3x-2x=7+2. \]

\[ x=9. \]

Проверка:

\[ 3(9-2)+4=21+4=25, \]

\[ 2\cdot9+7=25. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=9}. \]

Особые случаи

\[ 0x=5 \]

— решений нет.

\[ 0x=0 \]

— подходит любое число, решений бесконечно много.

---

8. Уравнения с дробями

Если переменная находится в знаменателе, знаменатель не должен быть равен нулю.

Например:

\[ \frac{x+1}{x-2}=3. \]

Сначала записываем ограничение:

\[ x-2\ne0,\qquad x\ne2. \]

Умножаем обе части на \(x-2\):

\[ x+1=3(x-2). \]

\[ x+1=3x-6. \]

\[ 7=2x. \]

\[ x=\frac72. \]

Это значение не равно \(2\), значит, оно подходит.

Ответ:

\[ \boxed{x=\frac72}. \]

---

Самое главное, что нужно запомнить

1. Рациональные числа можно представить дробью \(\frac mn\), где \(n\ne0\).
2. В выражениях соблюдаем порядок действий.
3. Скобки раскрываем по распределительному закону.
4. Подобные слагаемые складываем.
5. Тождество верно при всех допустимых значениях.
6. Уравнение имеет отдельные корни.
7. В уравнении с переменной в знаменателе сначала записываем ограничения.
8. После решения полезно сделать проверку.