Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{S_{ABCD}=12(\sqrt3-1)\ \text{см}^2} \] если длины на рисунке заданы в сантиметрах.

Решение

Опустим перпендикуляры \(BH\) и \(CK\) на основание \(AD\). Пусть

\[ CK=BH=x. \]

Так как \(\angle A=45^\circ\), треугольник \(ABH\) — прямоугольный равнобедренный, поэтому

\[ AH=x. \]

Разность оснований равна

\[ AD-BC=8-4=4. \]

Следовательно,

\[ KD=4-x. \]

В прямоугольном треугольнике \(DCK\) угол \(D=30^\circ\). Поэтому

\[ \sin 30^\circ=\frac{CK}{CD} \quad\Rightarrow\quad CD=2x. \]

По теореме Пифагора:

\[ (2x)^2=x^2+(4-x)^2. \]

Решаем:

\[ 4x^2=x^2+16-8x+x^2, \]

\[ x^2+4x-8=0, \]

\[ x=-2\pm2\sqrt3. \]

Высота положительна, значит

\[ h=x=2\sqrt3-2=2(\sqrt3-1). \]

Площадь трапеции:

\[ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h =\frac{8+4}{2}\cdot2(\sqrt3-1). \]

Итак,

\[ \boxed{S=12(\sqrt3-1)\ \text{см}^2}. \]

Проверка: \(h\approx1{,}46\), поэтому \(S\approx6\cdot1{,}46=8{,}78\ \text{см}^2\).