Реши задание на изображении

\[ \boxed{a\in\left\{-\frac{12}{7},-\frac32,0\right\}} \]

Положим \[ y=2x+\frac1{x^2},\qquad x\ne0. \] Тогда уравнение примет вид \[ ay^2+12y-16(a+3)=0. \] Разложим на множители: \[ ay^2+12y-16(a+3)=(y-4)\bigl(ay+4(a+3)\bigr). \]

Значит, всегда возможен корень \[ y=4. \]

Рассмотрим, сколько значений \(x\) соответствует одному значению \(y\). Функция \[ f(x)=2x+\frac1{x^2} \] имеет следующие свойства:

• при \(x<0\) она возрастает от \(-\infty\) до \(+\infty\), поэтому всегда даёт один отрицательный корень;
• при \(x>0\) имеет минимум \(f(1)=3\).

Следовательно:

\[ \begin{array}{c|c} \text{значение }y & \text{число различных корней }x\\ \hline y<3 & 1\\ y=3 & 2\\ y>3 & 3 \end{array} \]

Для \(y=4\) получаем \(3\) корня \(x\).

Если \(a\ne0\), второе значение \(y\) равно \[ y_2=-\frac{4(a+3)}a=-4-\frac{12}{a}. \]

1. Особые случаи

• \(a=0\): остаётся только \(y=4\), значит, \(3\) корня;
• при \(a=-\frac32\) два значения \(y\) совпадают: \[ -4-\frac{12}{a}=4, \] поэтому также получаем только \(3\) корня.

Оба значения подходят.

2. Второе значение \(y\) отлично от \(4\)

Всего корней будет \(3+N(y_2)\). Это число нечётно только при \(N(y_2)=2\), то есть при \[ y_2=3. \] Тогда \[ -4-\frac{12}{a}=3, \] \[ -\frac{12}{a}=7, \qquad a=-\frac{12}{7}. \]

При этом всего \(3+2=5\) различных корней.

Итак, \[ \boxed{a=0,\quad a=-\frac32,\quad a=-\frac{12}{7}}. \]