Реши задание на изображении
Решение тригонометрического уравнения
Мне нужно решить тригонометрическое уравнение на русском языке. Уравнение имеет вид:
2 sin² x + √2 sin(2π - x) + sin 2x = √2 cos x - cos 2x.
Сначала я проанализирую уравнение. Думаю, что sin(2π−x) может быть равен -sin x. Я могу преобразовать уравнение, возможно, используя 1-cos² x. Я постараюсь найти все корни на интервале (-π/2; 2π) и привести краткое объяснение этапов решения. Очень важно всё тщательно проверить!
Решение тригонометрического уравнения
Я хочу решить уравнение:
2 sin² x + √2 sin(2π - x) + sin 2x - √2 cos x + cos 2x = 0.
После этого я понимаю, что могу упростить его до:
1 + sin 2x - √2 (sin x + cos x) = 0.
Если я обозначу \( t = sin x + cos x \), думаю, что в итоге получу квадратное уравнение. Я могу найти решения либо из условия \( sin x + cos x = 0 \), либо из условия \( sin x + cos x = √2 \). Я постараюсь тщательно проверить оба случая!
Рассмотрение решения уравнений
Я думаю о том, нужно ли рассмотреть уравнение, которое, вероятно, может привести ко всем действительным решениям. Также следует учесть, как целое число k вписывается в это решение. Кажется важным оценить взаимосвязь между переменными в уравнении и одновременно понять последствия того, что k является целым числом. Мне нужно уточнить критерии для решений, чтобы разобраться в сути задачи!
Краткий ответ
а)
\[
x=-\frac{\pi}{4}+\pi k
\quad\text{или}\quad
x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.
\]
б) На промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\,2\pi\right)\): \[ \boxed{x\in\left\{-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\right\}}. \]
Решение
Используем тождества: \[ \sin(2\pi-x)=-\sin x,\qquad 2\sin^2x+\cos2x=1. \]
Перенесём всё в левую часть: \[ 2\sin^2x-\sqrt2\sin x+\sin2x-\sqrt2\cos x+\cos2x=0. \]
Сгруппируем: \[ (2\sin^2x+\cos2x)+\sin2x-\sqrt2(\sin x+\cos x)=0, \] \[ 1+\sin2x-\sqrt2(\sin x+\cos x)=0. \]
Заметим: \[ (\sin x+\cos x)^2=1+\sin2x. \]
Тогда: \[ (\sin x+\cos x)^2-\sqrt2(\sin x+\cos x)=0, \] \[ (\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-\sqrt2)=0. \]
1) \(\sin x+\cos x=0\)
\[ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0, \] \[ x+\frac{\pi}{4}=\pi k, \] \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k. \]
2) \(\sin x+\cos x=\sqrt2\)
Максимальное значение суммы \(\sin x+\cos x\) равно \(\sqrt2\), поэтому равенство достигается при \[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k. \]
Отбор корней из промежутка
Из \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\) получаем: \[ -\frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}. \]
Из \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) получаем: \[ \frac{\pi}{4}. \]
Все найденные значения лежат в \(\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right)\), поэтому ответ проверен.
