Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, фото или текст задания № 71 — в текущем чате изображение мне не видно.

Задание 71

1. \[ \frac{10^{2+\sqrt7}}{2^{2+\sqrt7}\cdot5^{1+\sqrt7}} = \frac{(2\cdot5)^{2+\sqrt7}}{2^{2+\sqrt7}\cdot5^{1+\sqrt7}} =5. \]

2. \[ \frac{6^{3+\sqrt5}}{2^{2+\sqrt5}\cdot3^{1+\sqrt5}} = \frac{(2\cdot3)^{3+\sqrt5}}{2^{2+\sqrt5}\cdot3^{1+\sqrt5}} =2\cdot3^2=18. \]

3. \[ \begin{aligned} (25^{1+\sqrt2}-5^{2\sqrt2})\cdot5^{-1-2\sqrt2} &=(5^{2+2\sqrt2}-5^{2\sqrt2})\cdot5^{-1-2\sqrt2}\\ &=5^{2\sqrt2}(25-1)\cdot5^{-1-2\sqrt2}\\ &=24\cdot5^{-1}=\frac{24}{5}. \end{aligned} \]

4. \[ \begin{aligned} (2^{2\sqrt3}-4^{\sqrt3-1})\cdot2^{-2\sqrt3} &=(2^{2\sqrt3}-2^{2\sqrt3-2})\cdot2^{-2\sqrt3}\\ &=2^{2\sqrt3-2}(4-1)\cdot2^{-2\sqrt3}\\ &=3\cdot2^{-2}=\frac34. \end{aligned} \]

Ответ:
\[ \boxed{1)\ 5;\quad 2)\ 18;\quad 3)\ \frac{24}{5};\quad 4)\ \frac34.} \]

Конечно. Используем свойства степеней:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

1)

\[ \frac{10^{2+\sqrt7}} {2^{2+\sqrt7}\cdot5^{1+\sqrt7}} \]

Представим \(10\) как \(2\cdot5\):

\[ 10^{2+\sqrt7} =(2\cdot5)^{2+\sqrt7} =2^{2+\sqrt7}\cdot5^{2+\sqrt7}. \]

Подставим:

\[ \frac{2^{2+\sqrt7}\cdot5^{2+\sqrt7}} {2^{2+\sqrt7}\cdot5^{1+\sqrt7}}. \]

Сократим одинаковые степени двойки:

\[ \frac{5^{2+\sqrt7}}{5^{1+\sqrt7}} =5^{(2+\sqrt7)-(1+\sqrt7)} =5^1=5. \]

\[ \boxed{5} \]

---

2)

\[ \frac{6^{3+\sqrt5}} {2^{2+\sqrt5}\cdot3^{1+\sqrt5}} \]

Представим \(6\) как \(2\cdot3\):

\[ 6^{3+\sqrt5} =(2\cdot3)^{3+\sqrt5} =2^{3+\sqrt5}\cdot3^{3+\sqrt5}. \]

Тогда:

\[ \frac{2^{3+\sqrt5}\cdot3^{3+\sqrt5}} {2^{2+\sqrt5}\cdot3^{1+\sqrt5}}. \]

Разделим степени с одинаковыми основаниями:

\[ 2^{(3+\sqrt5)-(2+\sqrt5)} \cdot 3^{(3+\sqrt5)-(1+\sqrt5)}. \]

Вычислим показатели:

\[ 2^1\cdot3^2=2\cdot9=18. \]

\[ \boxed{18} \]

---

3)

\[ \left(25^{1+\sqrt2}-5^{2\sqrt2}\right) \cdot5^{-1-2\sqrt2} \]

Представим \(25\) как \(5^2\):

\[ 25^{1+\sqrt2} =(5^2)^{1+\sqrt2} =5^{2(1+\sqrt2)} =5^{2+2\sqrt2}. \]

Получаем:

\[ \left(5^{2+2\sqrt2}-5^{2\sqrt2}\right) \cdot5^{-1-2\sqrt2}. \]

Вынесем \(5^{2\sqrt2}\) за скобки:

\[ 5^{2+2\sqrt2} =5^2\cdot5^{2\sqrt2} =25\cdot5^{2\sqrt2}. \]

Поэтому:

\[ 5^{2+2\sqrt2}-5^{2\sqrt2} = 25\cdot5^{2\sqrt2}-1\cdot5^{2\sqrt2} = 24\cdot5^{2\sqrt2}. \]

Теперь умножим:

\[ 24\cdot5^{2\sqrt2}\cdot5^{-1-2\sqrt2} = 24\cdot5^{(2\sqrt2)+(-1-2\sqrt2)}. \]

Показатель степени равен:

\[ 2\sqrt2-1-2\sqrt2=-1. \]

Значит,

\[ 24\cdot5^{-1} =\frac{24}{5}. \]

\[ \boxed{\frac{24}{5}} \]

---

4)

\[ \left(2^{2\sqrt3}-4^{\sqrt3-1}\right) \cdot2^{-2\sqrt3} \]

Представим \(4\) как \(2^2\):

\[ 4^{\sqrt3-1} =(2^2)^{\sqrt3-1} =2^{2(\sqrt3-1)} =2^{2\sqrt3-2}. \]

Тогда выражение принимает вид:

\[ \left(2^{2\sqrt3}-2^{2\sqrt3-2}\right) \cdot2^{-2\sqrt3}. \]

Вынесем \(2^{2\sqrt3-2}\) за скобки:

\[ 2^{2\sqrt3} = 2^2\cdot2^{2\sqrt3-2} = 4\cdot2^{2\sqrt3-2}. \]

Следовательно,

\[ 2^{2\sqrt3}-2^{2\sqrt3-2} = (4-1)\cdot2^{2\sqrt3-2} = 3\cdot2^{2\sqrt3-2}. \]

Умножим на \(2^{-2\sqrt3}\):

\[ 3\cdot2^{2\sqrt3-2}\cdot2^{-2\sqrt3} = 3\cdot2^{(2\sqrt3-2)-2\sqrt3}. \]

\[ (2\sqrt3-2)-2\sqrt3=-2, \]

поэтому:

\[ 3\cdot2^{-2} = 3\cdot\frac14 = \frac34. \]

\[ \boxed{\frac34} \]

Ответ:

\[ \boxed{1)\ 5;\qquad 2)\ 18;\qquad 3)\ \frac{24}{5};\qquad 4)\ \frac34.} \]