Реши задание на изображении

Краткий ответ: \(F'(x)=f(x)\), поэтому

1. \(\displaystyle F(x)=\frac{x^5}{5}+C\)
2. \(\displaystyle F(x)=\frac{3x^2}{2}+C\)
3. \(\displaystyle F(x)=2x^3+4x+C\)
4. \(\displaystyle F(x)=5x^2+x+C\)
5. \(\displaystyle F(x)=3x^3-\frac{x^2}{2}+C\)
6. \(\displaystyle F(x)=\frac{4x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+7x+C\)

Здесь \(C\) — произвольная постоянная.

Как решать

Используем правило:

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \]

а постоянный множитель и слагаемые интегрируем отдельно.

Например, для пункта 6:

\[ \int(4x^2-5x+7)\,dx =4\cdot\frac{x^3}{3}-5\cdot\frac{x^2}{2}+7x+C. \]

Проверка

Дифференцируем найденные функции:

\[ \left(\frac{x^5}{5}\right)'=x^4, \qquad \left(\frac{3x^2}{2}\right)'=3x, \]

\[ (2x^3+4x)'=6x^2+4, \qquad (5x^2+x)'=10x+1, \]

\[ \left(3x^3-\frac{x^2}{2}\right)'=9x^2-x, \]

\[ \left(\frac{4x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+7x\right)' =4x^2-5x+7. \]

Во всех случаях после дифференцирования получается исходная функция.