934

Краткий ответ: \[ |\overrightarrow{BD}|=13\text{ см},\qquad |\overrightarrow{CD}|=5\sqrt2\text{ см},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{74}\text{ см}. \]

Пусть \(C E\perp AD\). Так как \(AB\perp AD\) и \(BC\parallel AD\), высота трапеции равна: \[ CE=AB=5\text{ см}. \]

В прямоугольном треугольнике \(CDE\): \[ \angle CDE=45^\circ,\qquad \tan45^\circ=\frac{CE}{DE}=1. \] Значит, \[ DE=CE=5\text{ см}. \] Тогда \[ AE=AD-DE=12-5=7\text{ см}. \]

Теперь найдём длины векторов — они равны длинам соответствующих отрезков:

1. В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ BD=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{169}=13\text{ см}. \]

2. В прямоугольном треугольнике \(CDE\): \[ CD=\sqrt{CE^2+DE^2} =\sqrt{5^2+5^2} =5\sqrt2\text{ см}. \]

3. В прямоугольном треугольнике \(AEC\): \[ AC=\sqrt{AE^2+CE^2} =\sqrt{7^2+5^2} =\sqrt{74}\text{ см}. \]

Проверка: \[ BD^2=12^2+5^2=169,\quad CD^2=5^2+5^2=50,\quad AC^2=7^2+5^2=74. \]