(х^2+4х-11)^2=(7х^2+2х+3)^2
Решение квадратных уравнений
Я решаю квадратные уравнения, начиная с 6x²-2x+14=0, и упрощение приводит к чему-то интересному. Дискриминант оказался отрицательным, что указывает на комплексные корни. Если в уравнениях не указана область определения, обычно я рассматриваю их над множеством действительных чисел. Поэтому я упомяну и действительные, и комплексные корни, но сосредоточусь на действительных для школьных заданий. Важно уточнить это, чтобы избежать какого-либо недопонимания у пользователя.
Проверка корней
Мне нужно проверить результаты для корней, но я хочу сохранить краткость. Для уравнения 4x² + 3x - 4 = 0 я замечаю, что A + B равно нулю, что подтверждает равенство квадратов. Дискриминант отрицательный, что указывает на отсутствие действительных корней. Можно рассмотреть подстановку или напрямую проверить корни, но, возможно, достаточно просто подтвердить разложение на множители. Наконец, я аккуратно оформлю ответ, начав примерно с \(\boxed{x=...}\), а затем приведу основные шаги для ясности.
Краткий ответ (для действительных \(x\)):
\[ \boxed{x=\frac{-3-\sqrt{73}}8 \quad \text{или} \quad x=\frac{-3+\sqrt{73}}8} \]
Решение
Используем принцип:
\[ a^2=b^2 \iff a=b \quad \text{или} \quad a=-b. \]
Пусть
\[ a=x^2+4x-11,\qquad b=7x^2+2x+3. \]
1) \(a=b\)
\[ x^2+4x-11=7x^2+2x+3 \]
\[ 3x^2-x+7=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot7=1-84=-83<0. \]
Действительных корней нет.
2) \(a=-b\)
\[ x^2+4x-11=-(7x^2+2x+3) \]
\[ 8x^2+6x-8=0, \]
\[ 4x^2+3x-4=0. \]
Дискриминант:
\[ D=3^2-4\cdot4\cdot(-4)=73. \]
Тогда
\[ x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{2\cdot4} =\frac{-3\pm\sqrt{73}}8. \]
Проверка принципа: для найденных значений выполняется
\[ x^2+4x-11=-(7x^2+2x+3), \]
значит, квадраты действительно равны.
Если учитывать комплексные числа, дополнительно получаются корни
\(\displaystyle x=\frac{1\pm i\sqrt{83}}6\).
