Как понять этот параграф

Краткий ответ: сравнить действительные числа — значит определить, какое из них находится правее на числовой прямой. Если запись неудобная, числа сначала приводят к удобному виду.

1. Дроби с одинаковыми знаменателями

У дроби с одинаковыми положительными знаменателями больше та, у которой больше числитель:

\[ \frac{5}{18}<\frac{14}{18}. \]

Если знаменатели разные, приводим дроби к общему знаменателю:

\[ \frac56=\frac{15}{18}, \qquad \frac79=\frac{14}{18}. \]

Так как \(15>14\), то

\[ \frac56>\frac79. \]

2. Дробь и десятичная дробь

Нужно записать оба числа в одном виде. Например:

\[ 0{,}6=\frac{6}{10}=\frac35. \]

Теперь сравним:

\[ \frac56=\frac{25}{30}, \qquad \frac35=\frac{18}{30}. \]

Следовательно,

\[ \frac56>\frac35, \]

то есть

\[ \frac56>0{,}6. \]

3. Числа разных знаков

Любое отрицательное число меньше любого положительного:

\[ -100<0<0{,}0017. \]

Запомни порядок:

\[ \text{отрицательные числа}<0<\text{положительные числа}. \]

4. Два отрицательных числа

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль:

\[ |-250|=250,\qquad |-350|=350. \]

Так как \(250<350\), то

\[ -250>-350. \]

Это понятно по числовой прямой: \(-250\) находится правее, чем \(-350\).

5. Числа с квадратными корнями

Если подкоренные выражения неотрицательны, то большему подкоренному выражению соответствует больший корень:

\[ a<b \quad\Longrightarrow\quad \sqrt a<\sqrt b. \]

Например:

\[ 7<10 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt7<\sqrt{10}. \]

Чтобы сравнить \(\sqrt7\) и \(3\), представим число \(3\) как корень:

\[ 3=\sqrt9. \]

Так как \(7<9\), то

\[ \sqrt7<\sqrt9=3. \]

Универсальный алгоритм

1. Сначала определи знаки чисел.
2. Если числа — дроби, приведи их к общему знаменателю.
3. Если есть десятичная дробь, переведи её в обычную дробь или наоборот.
4. Если оба числа отрицательные, сравни их модули и поменяй направление знака.
5. Если есть корни, сравни подкоренные выражения.

Проверка:
\[ \frac56\approx0{,}833,\qquad \frac79\approx0{,}778, \] поэтому действительно

\[ \frac56>\frac79. \]

Главная мысль: большее число всегда расположено правее на числовой прямой.