номер 82

Краткий ответ:

• а) \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}=\dfrac65\) — рациональное число;
• б) \((\sqrt{24}-\sqrt{54})\sqrt{12}=-6\sqrt2\) — иррациональное число;
• в) \((3-\sqrt5)^2+(3+\sqrt5)^2=28\) — рациональное число;
• г) \((\sqrt{13}+\sqrt8)^2=21+4\sqrt{26}\) — иррациональное число.

Решение

а)

\[ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} =\frac{6\sqrt2}{5\sqrt2} =\frac65. \]

Корень сократился, поэтому число рациональное.

б)

\[ \sqrt{24}=2\sqrt6,\qquad \sqrt{54}=3\sqrt6,\qquad \sqrt{12}=2\sqrt3. \]

Тогда

\[ (2\sqrt6-3\sqrt6)\cdot2\sqrt3 =-\sqrt6\cdot2\sqrt3 =-2\sqrt{18} =-6\sqrt2. \]

Так как \(\sqrt2\) — иррациональное число, то и \(-6\sqrt2\) иррационально.

в) Используем формулу:

\[ (a-b)^2+(a+b)^2=2a^2+2b^2. \]

\[ (3-\sqrt5)^2+(3+\sqrt5)^2 =2\cdot3^2+2\cdot(\sqrt5)^2 =18+10=28. \]

Итак, число рациональное.

г)

\[ \sqrt8=2\sqrt2, \]

поэтому

\[ (\sqrt{13}+\sqrt8)^2 =(\sqrt{13}+2\sqrt2)^2 =13+8+4\sqrt{26} =21+4\sqrt{26}. \]

Число \(\sqrt{26}\) иррационально, значит \(21+4\sqrt{26}\) тоже иррационально.

Проверка для пункта а:

\[ \left(\frac65\right)^2=\frac{36}{25}=\frac{72}{50}. \]