реши номер 61

Краткий ответ:
а) \(2\) решения; б) \(2\) решения.

а) \(\dfrac{25}{x}=2x-5\)

ОДЗ: \(x\ne0\).

Умножим уравнение на \(x\):

\[ 25=2x^2-5x, \]

\[ 2x^2-5x-25=0. \]

Дискриминант:

\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-25)=25+200=225. \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{225}}{4} =\frac{5\pm15}{4}. \]

Получаем:

\[ x_1=5,\qquad x_2=-\frac52. \]

Оба значения допустимы, значит, 2 решения.

б) \(x^3=|x|\)

Рассмотрим два случая.

1. \(x\ge0\): тогда \(|x|=x\).

\[ x^3=x,\qquad x(x^2-1)=0. \]

\[ x=0\quad\text{или}\quad x=1. \]

Оба подходят.

2. \(x<0\): тогда \(|x|=-x\).

\[ x^3=-x,\qquad x(x^2+1)=0. \]

Действительных отрицательных решений нет.

Итак, решения: \(x=0\) и \(x=1\), всего 2 решения.