решай

Ответы:

• 463: а) \(540^\circ\); б) \(720^\circ\); в) \(1440^\circ\).
• 464: а) \(54\) диагонали; б) \(170\) диагоналей.
• 465: а) \(4\) стороны; б) \(3\) стороны; в) \(6\) сторон; г) \(5\) сторон.
• 466: \(2{,}3\) см, \(2\) см, \(1{,}9\) см, \(1{,}8\) см.
• 467: \(15\) см, \(7\) см, \(23\) см, \(21\) см.
• 468: по \(90^\circ\).
• 469: \(\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ\).
• 470: \(30^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 150^\circ\).

Решение

463. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника:

\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]

а) Для пятиугольника:

\[ S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ. \]

б) Для шестиугольника:

\[ S=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ. \]

в) Для десятиугольника:

\[ S=(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ. \]

---

464. Число диагоналей \(n\)-угольника:

\[ d=\frac{n(n-3)}2. \]

а) Для двенадцатиугольника:

\[ d=\frac{12(12-3)}2=\frac{12\cdot9}{2}=54. \]

б) Для двадцатиугольника:

\[ d=\frac{20(20-3)}2=\frac{20\cdot17}{2}=170. \]

---

465. Если каждый угол равен \(\alpha\), то

\[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ. \]

а) При \(\alpha=90^\circ\):

\[ 90n=180(n-2),\qquad n=4. \]

б) При \(\alpha=60^\circ\):

\[ 60n=180(n-2),\qquad n=3. \]

в) При \(\alpha=120^\circ\):

\[ 120n=180(n-2),\qquad n=6. \]

г) При \(\alpha=108^\circ\):

\[ 108n=180(n-2),\qquad n=5. \]

---

466. Переведём периметр в миллиметры:

\[ 8\text{ см}=80\text{ мм}. \]

Пусть первая, большая сторона равна \(x\) мм. Тогда остальные стороны равны:

\[ x-3,\quad x-4,\quad x-5. \]

Составим уравнение:

\[ x+(x-3)+(x-4)+(x-5)=80, \]

\[ 4x-12=80,\qquad 4x=92,\qquad x=23. \]

Стороны:

\[ 23\text{ мм},\ 20\text{ мм},\ 19\text{ мм},\ 18\text{ мм}, \]

то есть

\[ \boxed{2{,}3\text{ см},\ 2\text{ см},\ 1{,}9\text{ см},\ 1{,}8\text{ см}}. \]

Проверка:

\[ 2{,}3+2+1{,}9+1{,}8=8\text{ см}. \]

---

467. Пусть вторая сторона равна \(x\) см. Тогда:

• первая сторона: \(x+8\);
• третья сторона: \(x+16\);
• четвёртая сторона: \(3x\).

По условию:

\[ x+(x+8)+(x+16)+3x=66. \]

\[ 6x+24=66,\qquad 6x=42,\qquad x=7. \]

Значит, стороны равны:

\[ \boxed{15\text{ см},\ 7\text{ см},\ 23\text{ см},\ 21\text{ см}}. \]

Проверка:

\[ 15+7+23+21=66\text{ см}. \]

---

468. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\). Все углы равны:

\[ 360^\circ:4=90^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{90^\circ,\ 90^\circ,\ 90^\circ,\ 90^\circ}. \]

---

469. Пусть

\[ \angle A=\angle B=\angle C=x. \]

Тогда:

\[ x+x+x+135^\circ=360^\circ, \]

\[ 3x=225^\circ,\qquad x=75^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ}. \]

Проверка:

\[ 75^\circ+75^\circ+75^\circ+135^\circ=360^\circ. \]

---

470. Пусть углы пропорциональны числам \(1,2,4,5\):

\[ x,\ 2x,\ 4x,\ 5x. \]

Их сумма равна \(360^\circ\):

\[ x+2x+4x+5x=360^\circ, \]

\[ 12x=360^\circ,\qquad x=30^\circ. \]

Углы:

\[ \boxed{30^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 150^\circ}. \]

Проверка:

\[ 30^\circ+60^\circ+120^\circ+150^\circ=360^\circ. \]