найдите количество диагоналей,а) пятиугольника.б)выпуклого двенадцатиугольника.в) выпуклого двацатипятиугольника
Вычисление количества диагоналей n-угольника
Я думаю о том, как найти количество диагоналей в n-угольнике. Из каждой вершины можно провести n-3 диагонали, что даёт в общей сложности n(n-3). Но поскольку каждая диагональ посчитана с обоих концов, нужно разделить результат на 2. Таким образом, формула принимает вид d=n(n-3)/2. Например, в пятиугольнике (n=5) получается 5 диагоналей. Формула кажется верной, и интересно помнить, что выпуклость не изменяет это количество. Перейду к следующему шагу!
Краткий ответ:
а) пятиугольник — 5 диагоналей;
б) двенадцатиугольник — 54 диагонали;
в) двадцатипятиугольник — 275 диагоналей.
Объяснение
Из каждой вершины \(n\)-угольника можно провести \(n-3\) диагонали: нельзя соединять вершину с самой собой и с двумя соседними вершинами.
Но каждую диагональ при таком подсчёте считаем дважды — из каждой её конечной вершины. Поэтому используется формула:
\[ d=\frac{n(n-3)}{2}. \]
а) Для пятиугольника:
\[ d=\frac{5(5-3)}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5. \]
б) Для двенадцатиугольника:
\[ d=\frac{12(12-3)}{2}=\frac{12\cdot9}{2}=54. \]
в) Для двадцатипятиугольника:
\[ d=\frac{25(25-3)}{2}=\frac{25\cdot22}{2}=275. \]
Выпуклость многоугольника на количество диагоналей не влияет.
