Номер 66
Оценка границ для x и y
Я работаю с \(x = \sqrt{5}\) и \(y = \sqrt{3}\). Используя их оценочные диапазоны, я могу составить неравенства для \(x + y\) и \(x - y\). Для суммы я получаю, что \(2.2 + 1.7\) меньше \(x + y\), а \(2.3 + 1.8\) является верхней границей. Далее для разности \(x - y\) также нужно провести проверки. Я сверяюсь со значениями квадратов, чтобы убедиться, что всё ещё нахожусь в правильных границах. Такая тщательная оценка должна привести к достаточно надёжным выводам!
Проверка границ и произведений
Я думаю проверить свои результаты с использованием приближённых значений — даже если это не является строго необходимым, приятно перепроверить! Я могу проверить границы, убедившись, что все они положительны и сохраняют строгие неравенства. Для \(\sqrt{15}\) произведение, полученное из границ \(2.2 < \sqrt{5} < 2.3\) и \(1.7 < \sqrt{3} < 1.8\), даёт нижнее произведение \(3.74\) и верхнюю границу \(4.14\). Интересно, даст ли возведение в квадрат более точную оценку для \(\sqrt{15}\) — это могло бы помочь мне лучше закрепить понимание!
Краткий ответ:
\[ 3{,}9<\sqrt5+\sqrt3<4{,}1. \]
\[ 0{,}4<\sqrt5-\sqrt3<0{,}6. \]
\[ 3{,}74<\sqrt{15}<4{,}14. \]
Решение
Пусть \(x=\sqrt5\), \(y=\sqrt3\). Тогда
\[ 2{,}2<x<2{,}3,\qquad 1{,}7<y<1{,}8. \]
1) Сумма
Складываем соответствующие части неравенств:
\[ 2{,}2+1{,}7<x+y<2{,}3+1{,}8. \]
Получаем:
\[ \boxed{3{,}9<\sqrt5+\sqrt3<4{,}1}. \]
2) Разность
Чтобы найти наименьшую разность, из наименьшего значения \(\sqrt5\) вычитаем наибольшее значение \(\sqrt3\). Для наибольшей разности — наоборот:
\[ 2{,}2-1{,}8<\sqrt5-\sqrt3<2{,}3-1{,}7. \]
Значит,
\[ \boxed{0{,}4<\sqrt5-\sqrt3<0{,}6}. \]
3) Корень из 15
Представим число \(15\) как \(5\cdot3\):
\[ \sqrt{15}=\sqrt{5\cdot3}=\sqrt5\cdot\sqrt3. \]
Все числа положительны, поэтому неравенства можно перемножить:
\[ 2{,}2\cdot1{,}7<\sqrt{15}<2{,}3\cdot1{,}8. \]
\[ \boxed{3{,}74<\sqrt{15}<4{,}14}. \]
Проверка: примерно \(\sqrt5+\sqrt3\approx3{,}97\), \(\sqrt5-\sqrt3\approx0{,}50\), \(\sqrt{15}\approx3{,}87\); все значения попадают в найденные промежутки.
